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2つの円錐の共通部分の体積

【問題】 xyz空間内に点A(-2, 0, 2)とB(2, 0, 2) がある.また,点Pはxy平面上の原点を中心とする半径2の円の周と内部を自由に動く点とする。 線分APの通過する範囲をK,線分BPの通過する範囲をLとするとき,KとLの共通部分の体積を求めよ. 上の問題を解いていたのですが,行き詰ってしまったためどなたか教えていただけませんか.以下,私の解答です.また,表記の都合上,OAベクトルを「OA↑」と書くことにします. 【私の解答(途中まで)】 xy平面上の原点を中心とする半径2の円の周を自由に動く点をQとすると,Q(2cosθ, 2sinθ, 0) (0≦θ≦2π)とおける.線分AQ,BQと平面z=t(0≦t≦2)の交点をそれぞれA',B'とする.A',B'はそれぞれ線分QA,QBをt:(2-t)に内分する点なので, OA'↑=(1/2){(2-t)OQ↑+tOA↑} =((2-t)cosθ-t, (2-t)sinθ, t) 同様に, OB'↑=((2-t)cosθ+t, (2-t)sinθ, t) (cosθ)^2+(sinθ)^2=1より,z=t上におけるA'の軌跡は (x+t)^2+y^2=(2-t)^2 …(1) 同様に,B'の軌跡は (x-t)^2+y^2=(2-t)^2 …(2) 点Pはxy平面上の原点を中心とする半径2の円の周と内部を自由に動くので,KとLの共通部分をz=tで切ってできる断面は(1)と(2)の円の周と内部の共通部分である.そこで,この部分の面積をS(t)とおき求める. (1)と(2)はy軸に関して対称なので,(2)とy軸に囲まれてできる部分の面積の2倍がS(t)である. また,共通部分ができるには,(2)の半径が,中心のx座標以上であればいいので, 2-t≧t⇔t≦1 0≦t≦2と合わせて,0≦t≦1 さて,図(※添付画像)のように点を定め,∠ORS=φとする.このとき,∠OUS=2φ. OR=2,OS=2√(1-t)より,RS=2√(2-t) よって,cosφ=1/√(2-t) …(3) S(t)=2{(扇形STU)-(三角形STU)} =2{(1/2)・(2-t)^2・4φ - (1/2)・(2-t)^2・sin4φ} =4φ/(cosφ)^4+sin4φ/(cosφ)^4 あとは,求める体積をVとすると, V=∫[0→1]S(t)dt ですが,(3)を用いてtからφの積分にする訳ですが,被積分関数が複雑な形になってしまい計算することができません. どこかで計算ミスをしているのでしょうか?それとも,φの置き方がまずかったのでしょうか? どなたか分かる方,どうか教えていただけませんか.よろしくお願いいたします.

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  • 回答No.4
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

問題文が正しいとすると 立体の3次元図は添付図のようになります。 共通部分の立体はxz平面およびyz平面に対して対称なので、 共通部分の体積Vは, x≧0,y≧0,z≧0の部分を体積V1を4倍になる。 積分領域D={(x,y)|x^2+y^2≦4, x≧0,y≧0}とすれば zは Aを頂点とする円錐の円錐面の方程式 (x+z)^2 +y^2=(2-z)^2 より  z=(4-x^2-y^2)/(2(x+2)) となるから V1の体積は  V1=∫∫[D] zdxdy=∫∫[D] (4-x^2-y^2)/(2(x+2))dxdy   =∫[0,2] S(x)dx (S(x)は図参照)   =∫[0,2] dx∫[0,√(4-x^2)] (4-x^2-y^2)/(2(x+2))dy  V =4V1   =2∫[0,2] dx∫[0,√(4-x^2)] (4-x^2-y^2)/(x+2) dy   =2∫[0,2] dx/(x+2) ∫[0,√(4-x^2)] (4-x^2-y^2) dy   =2∫[0,2] dx/(x+2) [(4-x^2)y-(1/3)y^3][0,√(4-x^2)]   =2∫[0,2] dx/(x+2) [-2(x-2)^2*√(4-x^2)/3]   =4∫[0,2] (2-x)√(4-x^2)/3 dx   =4[(1/3)(4-x^2)^(1/2) +(1/9)(4-x^2)^(3/2) +(4/3)sin^-1(x/2)][0,2]   =8(3π-4)/9

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます. 円錐面の方程式,重積分,逆三角関数と,中々知識を問われますね. とりあえず,円錐面の方程式は覚えておきます.

その他の回答 (5)

  • 回答No.6

>#5さん すごいですね、積分結果が。 部分積分でしょうか? よくわからん。 --- 入試問題としての解法の原則として、 「切断面に弓形が現れるような切り方はしないほうがよい」みたいです。 1対1対応の演習など参照。 けっこう受験に頻出の話題かも。 切断面図形の面積の式が簡単であれば 算出できるみたいですが。 いろいろ考えてみると面白いかも。 http://sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume1.html http://ameblo.jp/flystone-winwin/entry-11180742708.html

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます. z軸に垂直な平面での切り口に固執していたので,x軸,y軸に垂直な平面でも考えていきたいと思います.

  • 回答No.5
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

ANo.3です。 ANo.3で、共通部分の面積を求めたので、 >S(t)=π(2-t)^2-4t√(1-t)-2(2-t)^2・sin^-1{t/(2-t)} これを使って、体積を求めてみました。 V=∫[0→1]S(t)dt =∫[0→1][π(2-t)^2-4t√(1-t)-2(2-t)^2・sin^-1{t/(2-t)}]dt =∫[0→1]{π(2-t)^2}dt-∫[0→1]{4t√(1-t)}dt          -∫[0→1][2(2-t)^2・sin^-1{t/(2-t)}]dt 3つ目の積分は手計算ではとても無理なので、ここ↓でやってもらいました。 計算結果 http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+2*%282-t%29%5E2*sin%5E-1%28t%2F%282-t%29%29dt%2C+t%3D0..1&dataset=&equal=Submit 不定積分 http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+2*%282-t%29%5E2*sin%5E-1%28t%2F%282-t%29%29dt&dataset=&equal=Submit 他の2つの積分は難しくないので、結果だけ載せると V=(7π/3)-(16/15)-1.44169=4.82203… になりました。 (ANo.4さんの答えを数値化したものと、ほぼ同じになります。) 質問者さんの考え方でも、同じ結果が得られましたが、 この場合は、手計算できないところが難です。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます. 私も自分の解答で得られた定積分をwolfram alphaで計算してもらいましたが,とても自力で発想できるものではありませんでした.

  • 回答No.3
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

ANo.2です。 解答を読んでいったら、添付図の意味が分かりました。 (1)と(2)の共通部分の面積を、積分で求めてみました。 (1)(x+t)^2+y^2=(2-t)^2の部分(共通部分の右側半分)を求めます。 y=0とおくと、(x+t)^2=(2-t)^2, x+t=±(2-t) よって、x=2-2t,-2で、図より、積分範囲は、0≦x≦2-2t y=√{(2-t)^2-(x+t)^2}として、上半分を求めて2倍します。 さらに2倍するから、 S(t)=2×2∫[0~2-2t]√{(2-t)^2-(x+t)^2}dx x+t=uとおくと、dx=du,0→(2-2t)から、t→(2-t) =4∫[t~2-t]√{(2-t)^2-u^2}du =4×(1/2)[u・√{(2-t)^2-u^2}+(2-t)^2・sin^-1{u/(2-t)}][t→2-t] =2[0+(2-t)^2・sin^-1(1)-t√{(2-t)^2-t^2}             -(2-t)^2・sin^-1{t/(2-t)}] =π(2-t)^2-4t√(1-t)-2(2-t)^2・sin^-1{t/(2-t)} 後はこれを積分すれば、体積が求められると思います。 (3項目の式が難しそうですが。。) 計算を確認してみて下さい。 間違いなどあったら教えて下さい。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます. 逆三角関数が出てくるのは厄介ですね.一応高校数学レベルの問題なので,質問文のような解答にしたのですが…

  • 回答No.2
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

問題と解答と添付図が全然噛み合っていないように思います。 問題の動く点Pが、解答の中では点Qになっていて、添付図には点Pも点Qもありません。 問題も、特に後半は意味が分からないので、もっと説明を加えた方がいいと思います。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます. 説明が不十分で申し訳ありません.点Qを登場させたのは,点Pは点Qの軌跡の内部を動くということを記述したかったためです.

  • 回答No.1
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

2つの円錐面の式は、 (x+z)^2+y^2=(2-z)^2 (x-z)^2+y^2=(2-z)^2 つまり、 z=(4-x^2-y^2)/(4+2x) z=(4-x^2-y^2)/(4-2x) 2つの円錐の共通部分を、x=t (0≦t≦2)の平面で切断したときの面積は、 S(t)=2∫[0→√(4-t^2)](4-t^2-y^2)/(4+2t)dy 求める体積は、 V=2∫[0→2]S(t)dt こっちのほうが楽に計算できるでしょう。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます. 円錐面の式は初めて見ましたが,勉強になりました.

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