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錐の体積の公式を初等幾何で証明したい。
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カヴァリエリの原理さえ許せば(勿論)出来ます。 色々な特定の錐に対して、その体積が「底面積×高さ×1/3」になることは、初等幾何で簡単に証明できますから。 僕が知る一番簡単なものは、 ●立方体の四本の対角線を引きます。 ●すると立方体は、立方体の中心の点を頂点とし各面を底面とする、合同な6個の錐に分割されます。 ●よって一つの錐の体積は立方体の1/6であり、底面積×高さ×1/3であることが示されました。 というものです。 或いは、立方体を合同な三個の錐に分割することも出来ます。(これは高校時代、友人に教わりました) ※同じものをHPで見つけました。 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun24.htm あとはカヴァリエリの原理を用いれば、任意の錐の体積が底面積×高さ×1/3であることが示せます。 (カヴァリエリの原理は積分で証明されるものというよりも、積分法とは独立した、「直観的に正しいと認められる原理」と理解すべきと思う。 たとえば面積・体積を積分法を用いずに定義し、カヴァリエリの原理を公理として認める、という数学もありうると思う。(初等幾何+カヴァリエリの原理がそうですね) 確かに、積分で面積・体積を厳密に定義する立場からは、カヴァリエリの原理も、そこから証明される「定理」になりますが)
その他の回答 (4)
- tecchan22
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#4です。 最初の例は#1さんと同じでしたね・・。 失礼しました。
- arrysthmia
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四面体の体積が、底面積と高さの等しい三角柱の体積の1/3 であることは、ユークリッド原論にも証明してありますが、 そこでは、底面積と高さが共通な2つの四面体は等積である ことが、無証明で使われています。 平面幾何では、底辺と高さが共通な2つの三角形は 合同でなくとも面積が等しいことが、初等幾何で示せます。 しかし、立体幾何では、底面積と高さが共通な2つの四面体の 体積が等しいこと(*)は、初等幾何だけで示すことはできません。 この事実は、ヒルベルトの第3問題と呼ばれ、 1900年にデーンが証明しました。 『2つの立体を、平行な平面群で切ったときに 断面積がいつも等しいならば、両者の体積は等しい。』という 「カヴァリエリの原理」を使えば、(*)を証明することができます。 カヴァリエリの原理 自体は、積分による証明を要するように 思われますが。 ユークリッド原論には、円錐の体積が円柱の1/3であること も証明されていますが、そこでは、いわゆる「取り尽くし法」が 使われています。 取り尽くし法による体積計算は、要するに積分そのものです。
- aidlii
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ユークリッド原論にあるかも知れません。あれば極限は使っていないかも。たぶん、アルキメデスより、ユークリッドの方が前ですから。原論に立体幾何を扱った部分がありますので、図書館で共立出版の訳とかを調べてみる手はあるでしょう。 ただし、原論は、数式を使ってません。全て文章で説明してますし、三角形ABCではなく三角形ΑΒΓ(アルファ、ベータ、ガンマ)だったりするので、カッタルイ読書になるかも……。
- Quattro99
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全然自信ありませんが、特殊な場合でないと結局「無限」を論じざるを得なくなり、微積を使っているのと同じことになるのではないかと思います。 特殊な場合なら、例えば立方体を、各側面を底面として立方体の中心を頂点とする6個の合同な四角錐に分ければ、体積は立方体の1/6であることがわかり、立方体の半分の1/3とわかりますから、「3分の1*底面積*高さ」であることを示せます。
お礼
ありがとうございます。成る程、確かに四角錐の場合はその方法で証明する事が出来ますね!他に「特殊な場合」が無いか探して見ます。
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お礼
ありがとうございます。そのHPに載っていた分割の美しさに感動しました。