化学IIで状態方程式(orボイルシャルル)を使いたいのですが…

質問

(問題)
"標高3800mの高地に出かけ、実験を行なった。
上端が閉じ、下端に開口部のある長さ20cmのパイプを沈めた。
水圧のために、ある深さでパイプのちょうど半分まで水が入り込んだ。
内部の空気は、初め大気の温度である27.0度であったが、
水中ではその深さでの水温7.0度との平衡になっている。
このとき水面からの深度dを求めよ。
気体の溶解および蒸気圧は無視できるものとする。
ただし、当地の気圧は6.30×10^4(Pa)で、水銀の密度13.6g/cm^3,
水の密度1.00g/cm^3, 1.00×10^5(Pa)の水銀柱の高さは76.0cmに相当するとし、答えは有効数字2桁で示せ。"

(解答)
空気についてパイプの容積をVとすると、ボイルシャルルの法則から次の式が成立する。
0.630×10^5×V / 273+27.0 = {(d / 13.6×76 + 0.630)×10^5×V / 2} / 273 + 7.0
上記を整理して、d≒562

なのですが。
どうしてここでボイルシャルルが使えるのか
(何とつりあっているのでしょうか)、
また、d / 13.6×76　で一体何の気圧を出しているのか疑問です。

GW中ですが、お時間のあるかたお願いします！

回答No.7

okormazd · ベストアンサー

ANo.3です。

そうです。
比例の計算です。

おまけ。
圧力は、
1atm=760mmHg
=13.6g/cm^3*76cm*980cm/s^2=13600kg/m^3*0.76m*9.8m/s^2=101292.8kg・m/(s^2・m^2)=101300N/m^2=101.3kPa (=1013hPa)
水柱Hでは、
1000kg/m^3*H*9.8m/s^2=101300kg・m/(s^2・m^2)
H=101300kg・m/(s^2・m^2)/(1000kg/m^3*9.8m/s^2)=10.34m

お礼

本当にありがとうございました！
お二方のおかげで、ずいぶんと理解が深まりました！
浪人中なのでGWはどこにも行けませんが、問題が解決して幸せです。

回答No.8

htms42

＃５のお礼の中の質問
＞、"水圧で0.6気圧は6m"と変換するのはどう考えたらいいんでしょう？
＃２で１気圧は１０ｍの水柱に相当すると書きました。０．６気圧ですから６ｍです。
防水時計などで５気圧防水と書いてあるものと５０ｍ防水と書いてあるものがあります。この２つの表現は同じものです。

ついでですからこの関係を導いておきます。
1気圧は水銀柱で７６．０ｃｍです。
底面積が１ｃｍ^２だとすると水銀の質量は
（１３．６ｇ／ｃｍ^３）×（７６ｃｍ）×（１ｃｍ^２）
＝１０３３．６ｇ＝１．０３３６ｋｇ
です。底面積が１ｃｍ^２の水柱でこれと同じ質量になるためには高さが１０３３．６ｃｍ＝１０．３３６ｍなければいけません。これを１０ｍと言っているのです。１ｃｍ^２に１ｋｇ重の力と言っているのも同じことです。

圧力をＰａ（パスカル）で表す場合は力をＮ（ニュートン）、底面積を１ｍ＾２に直さなければいけません。
（１．０３３６ｋｇ）×（１００００）×（９．８ｍ／ｓ^２）
＝１．０１３×１０^５
がでてきます。

＞ 1.00×10^5(Pa)の水銀柱の高さは76.0cmに相当するとし
これは少しおかしいです。

１．０１３×７５／７６＝１．０００ですから
１．００×１０^５Ｐａ＝７５ｃｍＨｇとする方がいいはずです。
７５と１．００という扱いやすい数字が出てきますので参考データとしてかかれることがよくある数字です。
私が中学校のとき、水銀柱は７６ｃｍでなくていつも７５ｃｍで出てきていました。

お礼

そうでした！納得です。
疑問も晴れ、すっきりしました。
お二方とも、最後まで、丁寧に教えてくださり、本当にありがとうございました！
お礼ポイントはまた後日にきちんとします。

回答No.6

htms42

＃５です。
＃５で「長さ２０ｃｍのパイプというのは意味を持たない」と書きましたが誤りです。

長さ２０ｃｍのパイプを持って深さ５．６ｍの所まで潜れば可能です。現実的ではないかもしれませんが不可能ではありません。

回答No.5

htms42

＃２です。
＃２では方針だけを書きました。

＃３様が解いておられます。
液面までの深さが５．６ｍとなっています。「そんな馬鹿な！」と思って私も計算しました。やはり、５．６ｍです。

元々の「長さ２０ｃｍのパイプ」という条件が意味を持ちません。
２０ｍのパイプというのも非現実的です。５．６ｍもぐって観察しなければいけません。

温度が変化しているのに惑わされました。温度が同じとすると体積が半分になったのですから圧力が２倍です。水圧で大気圧分を出さなくてはいけません。この場所での大気圧は０．６気圧ですから水圧で０．６気圧出さなくてはいけないのです。これは６ｍです。温度が２７℃から７℃に変わっていますので必要な圧力はこれより少し小さくてもいいとすると６ｍ弱という値が出てきます。２０ｃｍという数字がおかしいというのにもっと早く気がつくべきでした。

パイプの長さはいくらでもかまいません。体積が半分になったという条件と液面までの深さが５．６ｍと言う条件だけを満たせばいいのです。パイプの中点が水中の深さ５．６ｍの所にあるという条件だけですから長さは決まりません。

お礼

回答ありがとうございます！
読んでいて、すごく考えが深まりました。
パイプの中の水面が長さを満たしていれば、パイプの長さはいくらでもかまわないんですね。
このことは付属の回答読んでいるだけだったら、知ることもありませんでした。
最後にですが、"水圧で0.6気圧は6m"と変換するのはどう考えたらいいんでしょう？

回答No.4

okormazd

ANo.3です。
お手伝い。

>d / 13.6×76　

は、
1.00g/cm^3*d/(13.6g/cm^3*76cm)*1.00Pa

なのだ。

お礼

1.00g/cm^3*d/(13.6g/cm^3*76cm)*1.00Pa

上記の式について、私の以下の考えであってますか？
"水銀(密度13.6g/cm^3)が1.00*10^5(Pa)で高さ76.0cmを示す。
これが水(密度1.00g/cm^3)、P(Pa)では高さdを示す。
ここから比例式を立てて、
P : 1.00*10^5 = 1.00*d : 13.6*76
からP=1.00*10^5*1.00*d / 13.6*76
…これは、考え方間違ってますかね？

回答No.3

okormazd

わざわざチチカカ湖まで出かけてこんな実験をするほどのこともないし、問題も素直じゃない。何でわざわざ水銀を持ち出すのか意図がわからん。深さもいい加減だ。

g=9.8m/s^2を使うほうが余程勉強になる。
普通はつぎのようにする。

ボイルシャルルの法則
p1*V1/T1=p2*V2/T2

V1=2*V2だというので、
2*p1/T1=p2/T2・・・(1)

よって、
p2=2*p1*T2/T1

ここで、
p1=6.3*10^4Pa
T1=273+27=300K
T2=273+7=280K
深さ(ガラス管を垂直に立てたとして、気液境界での深さをdとすると、
p2=(気圧分)+(水圧分)=p1+1.0*10^3kg/m^3*9.8m/s^2*d
=6.3*10^4Pa+1.0*10^3kg/m^3*9.8m/s^2*d

よって(1)式
6.3*10^4Pa+1.0*10^3kg/m^3*9.8m/s^2*d=2*6.3*10^4Pa*280k/300k
ここから、Pa=kg・m/(s^2・m^2)を考えて、単位も入れて計算すれば、
d=(2*6.3*10^4Pa*280k/300k-6.3*10^4Pa)/(1.0*10^3kg/m^3*9.8m/s^2)
=5.57m

で、単位もついた答えになる。
ということなんだが、

>d / 13.6×76　で一体何の気圧を出しているのか疑問です。
疑問で当然、まるで単位があっていない。

質問者の書いた式はいくらか不備のところはあるが、
結局、
(2*0.63*10^5*280/300-0.63*10^5)Pa*(13.6*76*10^(-5))g/cm^2
の計算をしているようにみえるが、Pa*g/cm^2で何の単位になるんだろう。

私の見間違いならご容赦を。
計算式に足りないものがあるんじゃないか。この(解答)にはコメントできない。

回答No.2

htms42

この問題は２段階で解くことができます。
質問文の中には１つしか式が書かれていません。多分１つにまとめられたものでしょう。とりあえずは２つ式を出してみます。
（１）パイプの中の空気の圧力Ｐ[Pa]を求める。
（２）パイプの中の水面の位置でパイプの内外での圧力は等しいはず。
　　　　この圧力が等しいという関係を式で表す。

ボイルシャルルは（１）で使います。水銀の密度は関係ありません。
（２）は圧力のつりあいの式です。

パイプの下端の深さをｄ[cm]とします。
パイプの中の水面までの深さは（ｄ－１０）[cm]です。
この深さでの圧力
パイプの中の圧力＝Ｐ
パイプの外の圧力＝大気圧（６．３０×１０^４[Pa]）＋深さ(ｄ－１０)[cm]の水柱に相当する圧力

（１）（２）を求めて１つにまとめたものがご質問の式でしょう。
やってみてください。

「パイプの長さが２０ｃｍ、水中に沈めて体積が半分になった」という表現から有効数字はせいぜい２桁です。

１気圧は深さ１０ｍの水圧に相当するということで結果の値を推測出来ます。
１０＜ｄ＜２０のはずですね。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

PV=nRTでnとRは一定、変数はP,V,Tだからボイルシャルルです。

d/13.6×76 は下端が深さdにあるときに下端における水圧の計算です。
単位がg/cm^2で出てくるので、Pa（kg/m^2）に直す必要があり、ちょっと面倒ですが。

補足

さっそく回答ありがとうございます
dを水銀の密度と水銀の高さをかけ合わせたもので割ると、g/cm^2(これも圧力ですよね？物理をやっていないので不安ですが)が、Paに変換される、という考え方で正しいですか？