自然対数の性質の変わった証明

質問

gは実数xで微分可能で、g´(x)=g(x) ∀x∈Rとし、

rは実数xで微分可能で、r(x)=g(x+c)　でr´=r ∀x∈R(cは任意の実数)

とする時、r(x)=g(c)・g(x)である事を示せという問題です。

両辺微分したり、積の微分とか試しましたが、分かりそうで分かりません。

どなたか分かる方教えて下さい宜しくお願いします。

回答No.3

Tacosan

#2 です. ちょっと間違い.
r(x) = [g(c)/g(0)] g(x) だ.
g(x) = 4 e^x でも問題の条件を満たすことを忘れてた.

回答No.2

Tacosan

えっと....
微分方程式における解の一意性を用いていいならほぼ自明なんではないかなぁ?
つまり r(x) = g(x+c) から r(0) = g(c) です.
ということで, この r は r' = r, r(0) = g(c) という初期値付きの微分方程式になって, これを解けば (g' = g を使って) r(x) = g(c) g(x) はすぐ出るような....

回答No.1

proto

あまり自身は無いのですが、
g(x)≠0としてg(x+c)/g(x)をxで微分すると、
　　(d/dx)(g(x+c)/g(x)) = {g'(x+c)g(x)-g(x+c)g'(x)}/(g(x)^2)
ここでg'(x)=g(x),g'(x+c)=g(x+c)より
　　(d/dx)(g(x+c)/g(x)) = {g(x+c)g(x)-g(x+c)g(x)}/(g(x)^2) = 0
よって常に0となるので、Aをxに無関係な定数として
　　g(x+c)/g(x) = A
　　g(x+c) = A・g(x)　　－(*)
と置ける。

ここでAをcの関数として見てA(c)と書くと
　　g(x+c) = A(c)・g(x)
さらにg(x+c)をcの関数として見ると、g(x)はcと無関係な定数でありBと書き換えると
　　g(c+x) = B・A(c)
先ほど(*)で示したgの性質よりg(c+x)は(定数)・g(c)という形で書けるはずなので
　　A(c) = g(c)である

これを(*)の式に代入すると、結局
　　g(x+c) = g(c)・g(x)
である。