重力場における量子異常項について

質問

こんにちは、
「古典および量子重力理論」という超難解な本を図書館で借用してきて
眺めています。この本を眺めていると、第９章に、「重力場における量子異常項」
というのがあるのですが、この異常項が現れるのは、重力場にdirac粒子を入れた
場合なのでしょうか？重力場単独では、問題は起きないのでしょうか？

回答No.1

7624802

重力場単独では　その問題は起きません。また、基本的に４次元重力自体の量子論は完成されていないです。
　古典的に重力場が存在する状況で、フェルミオンの量子効果を計算したら　対称性を反映しない異常項が現れた、という話だと思います。

参考URL：

http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~sg/award_s/sg-l.1820.html

お礼

すいません。よく考えますと、質問は間違っていることに気がつきました。
下記の通り訂正しますので、よろしくご教示願います。

下記HPが正しいとしますと
一般座標変換に不変なエネルギー・運動量の関係は
g_ij p^ip^j =m^2 c^2
となり両辺に波動関数をかけると
g_ij p^ip^j ψ=m^2 c^2　ψ
となります。全部書き出すと
（g_00p^0 p^0+ g_11p^1p^1+g_22p^2 p^2+ g_33p^3p^3+g_01p^0p^1
+ g_02p^0p^2+g_03p^0p^3+ g_12p^1p^2+g_13p^1p^3+g_23p^2p^3)ψ
=m ψ　　式（１）
となります。

また一般座標変換に不変なディラック方程式は
g_ijγ^i 　p^j ψ　=m ψ　
となるとしますと、全部書き出すと
（g_00γ^0 p^0+ g_11γ^1p^1+g_22γ^2 p^2+ g_33γ^3p^3+g_01γ^0p^1
+ g_02γ^0p^2+g_03γ^0p^3+ g_12γ^1p^2+g_13γ^1p^3+g_23γ^2p^3)ψ
=m ψ　　式（２）
となります。

式（１）または式（２）は、特に一般座標変換に不変でない場合
（g_00p^0 p^0+ g_11p^1p^1+g_22p^2 p^2+ g_33p^3p^3)ψ
=m ψ　　式（３）

（g_00γ^0 p^0+ g_11γ^1p^1+g_22γ^2 p^2+ g_33γ^3p^3)ψ
=m ψ　　式（４）

となりますが、式（１）または式（２）と、式（３）または式（４）の違いは
時空が曲がっていないときには、式（３）または式（４）になり、
時空が曲がっているときに、式（１）または式（２）になるはずですが、
具体的にどの物理量（例えばスピン）をどのように調べれば、時空が
曲がっていないときと異なる結果が得られるのでしょうか？

ＨＰ

http://www.aa.alpha-net.ne.jp/t2366/%91%E6%82W%89%F1%81@%81@%81@%81...

補足

＞重力場単独では　その問題は起きません。また、基本的に４次元重力自体の量子論は完成されていないです。
＞古典的に重力場が存在する状況で、フェルミオンの量子効果を計算したら　対称性を反映しない異常項が現れた、という話だと思います。

わかりました。お返事ありがとうございます。

更に下記につきましてご教示願います。

質問１
重力場の量子論のハミルトニアンをHとしますと、方程式は、簡単に
i ∂ψ_j = Hψ_j
と表されるのでしょうか？

質問２
もしi ∂ψ_j = Hψ_jと表されるのでしたら、
あまり時空が曲がっていないときには、ψ_１～ψ_４だけが値を持ち、ψ_５～ψ_１０はほとんど“０”になると思われます。時空が大きく曲がっているときに、ψ_５～ψ_１０は“０”以外の値を持ちますが、具体的にどの物理量（例えばスピン）をどのように調べれば、時空があまり曲がっていないときと異なる結果が得られるのでしょうか？

質問３
一般座標変換に不変なエネルギー・運動量の関係式は
　g_ij p^i p^j =m^2 c^2
と表されます。自由場のディラック方程式は、
　γ^i p_i ψ　=m ψ
なので、
　g_ij γ^i p^j ψ　=m ψ　
は、一般座標変換に不変なディラック方程式なのでしょうか？
下記HP参照願います。
http://www.aa.alpha-net.ne.jp/t2366/%91%E6%82W%89%F1%81@%81@%81@%81@%81@%81@%81@%81@%81@%81@%8B%C8%82%AA%82%C1%82%BD%8E%9E%8B%F3%92%86%82%CC%97%CA%8Eq%97%CD%8Aw.htm