衝突エネルギーの考え方を教えて下さい

質問

ある番組で衝突エネルギーは速度の二乗に比例するとありました。
これが分かりません。
X=距離、ｔ＝時間、a=加速度
とすると初速度V0は0としたら
X=1/2at^2
微分して
つまりこれが速度vですよね。
更に微分して
dv/dt＝a
速度が二倍になれば加速度は単に2aになるだけ？
いやそもそもdx/dt＝atを二倍してはいけないのかもしれません。距離と時間が決まってからでないと微分できないのかも。とするとX=1/2at^2の時点でX＝constとすると、速度が二倍になるという事は時間が1/2になる、つまりX=constなら加速度は二乗倍？
エネルギー(J)＝質量(kg)×加速度(m/S^2)×距離(m)
つまりエネルギーも二乗倍？
これでいいのでしょうか？

そもそも衝突エネルギーとは何なのでしょうか？
ある質量Aをもった物質が等速運動Vで動いたとしたら、もし人工衛星のように重力加速度や摩擦のロスが無いとしたら、そのエネルギーは
質量A(kg)×速度V(m/s)
でもこれではエネルギーは単位Jになりません。そもそもエネルギーは相対評価なので、動く物質が何かに衝突し、その時の減速度（加速度）と減速した距離が分かれば衝突エネルギーは分かるのですが・・・
イマイチ分かりません。
等速運動の物質が壁に激突したら？速度の分だけエネルギーも二乗倍？
例えば踏み切りに止まっている車は質量×重力加速度のエネルギーがあります（単位：N）。そこに速度Vの質量Bの電車が衝突したら、車の質量エネルギーに対して電車の持つエネルギーはどのように表現するのでしょうか？
（ここでは転がり係数による影響等は無視して、電車は等速運動をしていると仮定してください）

加速度が無い？つまり単に質量だけの差？そんな訳がないですよね。等速運動は地球に永久に落っこちると同じなので質量B×重力加速度でいいのか？それもおかしいですよね。

回答No.2

b_bb

＃1さんのおっしゃっていることで間違いないので、混乱してそうな部分を指摘します。

エネルギーと運動量と力に混乱が見られてますね。
単位はＪ(kgmm/ss)　と　kgm/sと N(kgm/ss)なので全くの別物です。
(運動量の時間変化が力であるという原理(第二法則)と、その式の両辺を積分して定義したのがエネルギーです。)

エネルギーには方向がないが（スカラー量）絶対値を取るのでエネルギーを議論する上でもベクトル量を扱ってます。
たとえば、x方向速度が2倍になった場合でも他の方向に速度を持つ場合エネルギーは四倍になりません
V=√(Vx^2+Vy^2+Vz^2)だとした場合、Vxを二倍してもVが二倍にならないからです。

＞＞例えば踏み切りに止まっている車は質量×重力加速度のエネルギーがあります（単位：N）。そこに速度Vの質量Bの電車が衝突したら、車の質量エネルギーに対して電車の持つエネルギーはどのように表現するのでしょうか？

ご自身でもおっしゃっていますが、エネルギーは相対評価です。
自分がどれを基準にするか(どういう座標系で議論するか)決められるからです。
この場合地球中心を原点としたら車はmgR R=地球の半径の位置エネルギーをもっていて、電車もmgRの位置エネルギーを持っています(運動エネルギーmvv/2ももっている)。
踏切を原点としたら車はmg*0=0の位置エネルギーをもっていて、電車も0の位置エネルギーを持っていることになります。

ちなみに、衝突を運動エネルギーで議論するのはいささか問題があります。
二つの物体が衝突した時に伝わるのは力であると考えて場合、衝突がゆっくりと進めば（相対速度が限りなく0）二つとも超高速で動いていても衝撃は全くないからです。
＃1さんの力積あたりで出てくる話ですね。

お礼

ありがとうございます。
相対評価なのですよね・・
実は単純に踏み切りに車が止まっていた場合、列車の衝突は何倍の力がかかるのか？という安易な疑問からだったのですが・・
踏み切りを原点としたら車の位置エネルギーは０ですよね・・
地球中心を原点としたら車はmgR R=地球の半径の位置エネルギーをもっていて、電車もmgRの位置エネルギーを持っていますが、これに運動エネルギーを加えたらおかしいですよね？
うーん・・