三角比を含む不等式の問題

質問

0度≦θ≦180度のおいて

√←3cosθ+sinθ>0であるθの範囲を求めよ。

という問題で自分は0度≦θ≦90度、120度＜θ≦180度としたのですが
答えは0度≦θ＜120度でした。なぜなんですか？

回答お願いします

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#1です。
大学受験の段階では三角関数の合成法を使いますので覚えて、今習ってなくても予習して覚えておいた方が良いですね。受験では合成法が使えますから。三角関数の公式一覧にも載っていますよ。

A=√{(√3)^2+1^2}=2,
√3/A=√3/2=sin60°,1/A=1/2=cos60°
であることから

(√3)cosθ+sinθ=A{{(√3)/A}cosθ+(1/A)sinθ
=2{{(√3)/2}cosθ+(1/2)sinθ}
=2(sin60°cosθ+cos60°sinθ) ←　加法公式を使用
=2sin(60°+θ)＞0
60°≦60°+θ≦240°であるから
sinが正になる範囲は
60°≦60°+θ＜180°
∴0°≦θ＜120°

という風に解けます。

合成を使わないなら
三角関数を１つにするためsinθ（≧0）で割ることを考えます。
そのためsinθを場合わけします。
（１）sinθ=0のとき、θ=0°または180°
(√3)cosθ+sinθ>0
を満たすのはθ=0°
（２）sinθ＞0のとき
(√3)cosθ+sinθ>0
をsinθで割ると
(√3)/tanθ+1＞0
cotθ=1/tanθ＞-1/√3
この式を満たす0°≦θ≦180°のθは
0°≦θ＜120°
これは単位円を描いて求める方法が一般的で最も簡単です。
単位円を使わないなら
tanθ＞0,tanθ=0,tanθ＜0の場合にわけて考えてください。
順に0°＜θ＜90°、θ=0°、90°＜θ＜120°
θ=90°は
(√3)cosθ+sinθ>0を満たしますのでθ=90°も含めます。　

(2)と(1)の場合を合わせて
0°≦θ＜120°となります。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node9.html

回答No.4

debukuro

θが０から１８０の間で
sinは常に正
cosは９０を境に符号が反転することに注意してください
従って根号の中はある角度でゼロになります

回答No.3

nettiw

>>　0度≦θ≦180度
>>　√3cosθ+sinθ＞0
>>　sinθ＞-√3cosθ
>>　tanθ＞-√3

多分、両辺をcosθで割るために、

cosθ＝0　
　即ち、θ＝90度のときは吟味してあって、
　成立を確認してあるようですが、

cosθの正負の場合分けをしてなくて、

>>　tanθ＞-√3を解いて、
>>　　0度≦θ＜90度、120度＜θ≦180度、

>>　　これに、θ＝90度を合わせて、
>>　　0度≦θ≦90度、120度＜θ≦180度
　　　になったと思われます。

　cosθが正のとき、即ち0度≦θ＜90度ときは、
　成立して、

　cosθが負のとき、即ち90度＜θ≦180度ときは、
　不等号の向きが逆になるので、
　tanθ＜-√3　を解いて、
　90度＜θ＜120度

　　0度≦θ＜90度
　　　　　　θ＝90度
　　90度＜θ＜120度を合わせて、

　　0度≦θ＜120度　になります。

回答No.2

ONEONE

なぜ0度≦θ≦90度、120度＜θ≦180度としたのかいってくれないとわかりませんよ。

合成するとsin(θ+60°)＞0
なので0°＜θ+60°＜180°　⇔　-60°＜θ＜120°
0°≦θ≦180°なので結局0°≦θ＜120°となります。

補足

まだ合成を習ってないので1+Aの範囲で考えたいのですが・・・

回答No.1

info22

> 自分は0度≦θ≦90度、120度＜θ≦180度としたのですが
なぜこうなったのか、僕には理解できません。
補足に解答を書いて下さい。
そうでないと、どこで間違ったのか、チェックできません。

＞　答えは0度≦θ＜120度でした。
三角関数の合成を行えば、答えの通りにしかなりません。

補足

まだ合成を習ってないので1+Aの範囲で考えて
こうなったのですが・・・