- ベストアンサー
複素関数（大学）の問題
connykellyの回答
- connykelly
- ベストアンサー率53% (102/190)
このサイト↓の6章を参照してやってみてください。 http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/math2.html
関連するQ&A
- 原始関数の問題の解き方
以下のように解いたのですが、解答に自信がありません。 途中の式など、間違っていればご指摘のほどよろしくお願いします。 次の原始関数を求めよ。 (1) ∫(x+1)^5 dx x+1=tとおく。 (dt/dx)=1より、dx=dt よって、∫(x+1)^5 dx=∫t^5 dt =(1/6)t^6+C =(1/6)(x+1)^6+C (Cは積分定数) (2) ∫e^(5x) dx 5x=tとおく (dt/dx)=5より、dx=(dt/5) =∫e^(t)(dt/5)+C =(1/5)e^(5x)+C (Cは積分定数) (3) ∫x/(x^2+1)^2 dx =∫{(x+1)-1}/(x^2+1)^2 dx =(1/2)∫{(2x+2)-2}/(x^2+1)^2 dx =(1/2)∫(x^2+1)'/(x^2+1)^2 dx =(1/2)log|(x^2+1)^2|+C (Cは積分定数) (4) ∫1/√(23-x^2) dx 公式 ∫1/√(a^2-x^2) dx=sin^(-1) x/√a+C (a>0)より =sin^(-1) x/√23 +C (Cは積分定数) ご指導、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題
複素積分の問題 次の複素積分の問題が分かりません. アドバイスいただけたら幸いです. 次の複素関数について以下の問に答えよ f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 （1）複素平面上におけるf(z) の全ての特異点を求めよ （2）図中の閉曲線をγとする閉曲線γの矢印にそった向きの「周回積分」 ∫γ f(z)dzを求めよ γRは半径(R>1)の円し,γｒは半径(r<1)の円を表す （3）z=R exp(iθ)またはr=R exp(iθ) (0<θ<2π)とおくことにより, 曲線及び曲線に沿った「周回積分」の絶対値 │∫γR f(z)dz│および、│∫γr f(z)dz│ がR→∞、r→0の極限において0に収束することを証明せよ (4)以上の結果を用い、次の「積分」 ∫（0→∞） x^-c / ( 1+x ) dx = π/ (sinπc) を証明せよ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
I1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを複素積分を使って求めます。 まず ∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxの被積分関数の分子にi*sin(a*x)を （iは虚数単位）を加えても加えた部分が奇関数でかわらないので加え ると ∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxとなります するとI=∫[-∞,-∞]exp(i*a*x)/(x^2+b^2)dxです。 ここで複素積分 I=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は実軸と虚軸の正の部分を通る 反時計回りの半径Rの半円） またI2=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は虚軸の正の部分のみを通 る反時計回りの半径Rの半円）を考えるとRが十分大きいとき I=I1+I2・・・(1)になります。 Iは留数定理よりI=2*π*i*Res[f,i*b]=π*exp(-a*b)/b・・・(2) I2はz=R*exp(i*θ)とおき I2=∫[0,π]exp(i*a*R*exp(i*θ))/(R*exp(i*θ)^2+b^2)dθ =∫[0,π]exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)/(R^2*exp (2*i*θ)+b^2)dθ 三角不等式より 0<｜I2｜<∫[0,π]｜exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)｜/｜(R^2*exp(2*i*θ)+b^2)｜dθ<π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜・・・(3) ここでsinθ >0よりでexp(-a*R*sinθ)<1なので π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜<π*R/｜-R^2+b^2｜となり π*R/｜-R^2+b^2｜はR-->∞で0なので結局 ｜I2｜-->0 なので(1)より I1=π*exp(-a*b)/bが答えです。 これはわかるのですが、スタートで i*sin(a*x)ではなく-i*sin(a*x)を加えても変わらないですよね？ そこで-i*sin(a*x)を加えて実際にやってみると (2)の部分はπ*exp(a*b)/bに変わってしまい、また (3)の部分はπ*R*exp(a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜となってしまいこれでは R-->∞で発散するように思えます。 どこがまちがっているのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の不定積分について
レポート課題の以下の問題がわかりません、よろしくお願いします<(_ _)> ・次の関数の不定積分を求めよ。 x/(-6+5x-x^2)^(1/2) ・次を示せ。 1)∫(tan(x))^n dx=(tan(x))^(n-1)/(n-1)-∫(tan(x))^(n-2) dx (n≧2) 2)∫(log(x))^n dx=x(log(x))^n-n∫(log(x))^(n-1) dx (n≧１) 3)I_n=∫{sin(nx)/sin(x)}dxとしたとき、(n-1)(I_n-I_(n-2))=2sin(n-1)x (n≧２) 解答は答えだけでなく、導く過程もよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
複素積分の問題なのですがインテグラル{cox(x)/x^2+1 }dx 範囲が -∞～∞ になっていて答えがπ/e になっています。留数定理をもちいて計算しようとおもったのですが x=zとおいて 孤立特異点がi,-iになり Res(f,i)をもとめていこうとしたのですが、ここからどうも答えに辿りつきません。 どなたかお手伝いよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数