複素関数（大学）の問題

質問

次の積分を求めるアドバイスをお願いします

I=∫(0→∞)　(x・sin x) / (1+x~2)~2 dx

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1です。
＞　πi / 4e
被積分関数図に描いて見れば
y=x*sin(x)/(1+x^2)^2≧0…(1)
の偶関数（勿論全てのxの実数範囲で定義されている）であることが分かります。

偶関数の定義はf(-x)=f(x)が成り立つ
ことです。分母がx^2の関数で偶関数、
分子のxは奇関数、sin(x)も奇関数
（奇関数の定義はf(-x)=-f(x)です。）
その積の分子は偶関数です。
分子と分母が偶関数ですから、(1)は非負の偶関数です。
従って定積分が収束するならその積分値は実数になります。
従って
幾ら複素積分したとしても積分値は正の実数にならないといけません。

積分値は「πi / 4e」でなく
「π/4e」となります。
解答が書いてありませんので、積分の計算過程のどこで間違いをされたかは、回答できかねます。

質問する際は必ず質問者さんの解答を書いて質問するようにすれば、回答者がどこで間違ったかチェックしてくれるかと思います。

お礼

丁寧なアドバイスとともに分かりやすい回答まで本当に助かりました。
ありがとうございました

回答No.3

phusike

偶関数か否かは、 f(-x) = f(x) を満たすかどうかによって確認できます。
尤も、
（偶関数）＋（偶関数）＝（偶関数）
（奇関数）＋（奇関数）＝（奇関数）
（偶関数）（偶関数）＝（奇関数）（奇関数）＝（偶関数）
（偶関数）（奇関数）＝（奇関数）
を知っていれば、式を見ただけで偶関数と分かりますが。

そして、No.1の補足に書かれた解答は虚数になっていますが、
明らかにこの関数はxが実数を取るとき実数値を取りますよね。
従って積分も実数値を取らなければおかしいです。

基本的なことはNo.1にアドバイスがありますが、
付け加えるとすれば、xが実数の時 sin x = Im(exp ix) であることから、
I = Im ∫[0,∞]dz ( z exp iz )/( z^2 + 1 )^2
ですね。

まだ自信がなければ、解答だけでなく、
テスト等で提出できるような答案を補足に書いて下さい。

お礼

大変、参考になりました。
ありがとうございました

回答No.2

connykelly

このサイト↓の6章を参照してやってみてください。

http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/math2.html

参考URL：

http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/math2.html

回答No.1

info22

質問者さんの解答を書いて、分からない箇所についてだけ質問して下さい。

アドバイスだけ
複素積分に持っていくには、被積分関数が偶関数であることを利用して
積分経路を反時計回りの閉ループに持って行き複素積分に積分を変換して下さい。

複素積分になれば、コーシーの第一定理または第2定理を使って積分値を
求めてください。

補足

０から∞までの積分を-∞から+∞で求めて1/2した πi / 4e　という解であっているのでしょうか？
偶関数であることの確認は、どのようにすればよいのでしょう？