高校数学の行列の問題です、再質問の問題です
平面上の1次変換fが直交するベクトルの組をつねに直交するベクトルの組に移すとき、↑0でない任意のベクトル↑aに対して|f(↑a)|/|↑a|が
一定値1である1次変換は、原点からの距離を常に不変に保つ1次変換である これは原点のまわりの回転と原点を通る直線に関する対称移動からなる合同変換であることを証明しなさい
解説:ｆを(p,q,r,s)とする 直交する任意の2ベクトル(x,y),)(-y,x)のfによる像(p,q,r,s)(x,y)=(px+qy,rx+sy),(p,q,r,s)(-y,x)=(-py+qx,-ry+sx)が常に直交する条件は(px+qy)(-py+qx)+(rx+sy)(-ry+sx)=0
すなわち(pq+rx)x^2+(-p^2+q^2-r^2+s^2)xy-(pq+rs)y^2=0が任意の実数x,yに対して成り立つことである(1) よってpq+rs=0かつp^2+r^2=q^2+s^2 この時、任意のベクトル↑a=(x,y)≠0に対して
|f(↑a)|^2=(px+qy)^2+(rx+sy)^2=(p^2+r^2)x^2+2(pq+rs)xy+(q^2+s^2)y^2
=(p^2+r^2)|↑a|^2 よって|f(↑a)|/|↑a|=√(p^2+r^2=1、(1)から(p,r)と(q,s)は直交する単位ベクトルである よって実数θ(0<=θ<2π)を用いて (p,q)=(cosθ,sinθ),(q,s)=(cos(θ±π/2),sin(θ±π/2))
=(-+sinθ、±cosθ)(前のsinの－+は－が上で+が下、復号同順)
と表せる よって(p,q,r,s)=(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)(原点を中心とする角θの回転) (cosθ、sinθ,sinθ,-cosθ)(直線xsinθ/2=ycosθ/2に関する対称移動)
(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)(原点を中心とする角θの回転)の方は分かったのですが(直線xsinθ/2=ycosθ/2に関する対称移動)の方が何故そうなるのか分からないです
と質問したら
行列 A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で、対称移動させる直線は、直線Lとなります。直線L: xsin(θ/2) = ycos(θ/2) のことです。
と教えてもらったのですが、何故A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で、対称移動させる直線は、直線Lとなるのか分かりません、自分でも考えましたが、分からなかったので、是非ともよろしくお願いします
