数学の順列の基本の質問です。

質問

重複数列で、「ｎのｒ乗」と書いて「異なるｎ個のものから、重複を許してｒ個とって並べる並べ方」と言う意味となるらしいのですが、それは例えばどういったものでしょうか。普通の数列のｎＰｒ（異なるｎ個のものから、ｒ個とって並べる並べ方）とはどう異なるのでしょうか。
また、例えば　ｎＰｒ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）……（ｎ－ｒ＋１）
　　　　　　　　　　＝（ｎ－ｒ）！分のｎ！
となるらしいのですが、その「！」とはどういったものでしょうか。

教えて下さい。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

例えば、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４文字から３文字選んで１列に並べるときの並べ方の総数を求める。
４文字から３文字を重複を許さずに選んで（各文字は１回づつしか使えない）並べる場合は、
１文字目　Ａ～Ｄのどれでも良いので４通り
２文字目　１文字目を除いた３文字から選ぶので３通り
３文字目　１，２文字目を除いた２文字から選ぶので２通り
なので、並べ方の総数は　4Ｐ3 = 4・3・2 = 24 通り。このように重複を許さずに順に並べる並べ方が順列。
これを拡張して、異なる ｎ 個から r 個を重複を許さずに選んで並べる並べ方の総数は　nＰr = n (n -1) (n - 2) ・・・(n - r +1) = n! / (n-r)! 。
ここで、n! は 「ｎの階乗」と読み、1からnまでの整数の積で、
n! = n × (n - 1) × (n - 2) ×　・・・　× 3 × 2 × 1
nＰr は n から (n - r + 1) までを掛けた数であるが、それは n! を (n - r)!で割った数と等しいので、表記上　nＰr = n! / (n - r)! と書くこともあるけど、別に大した意味はない。本質的には、nＰr は n,n-1,n-2,...,n-r+1 の積と考えるべきであろう。なお、ｎ 個から重複を許さずに r 個選んで並べるのだから、当然 n ≧ r 。

元の問題にもどって、４文字から３文字を重複を許して選んで（各文字は何度でも使える）並べる場合は、
１文字目　Ａ～Ｄのどれでも良いので４通り
２文字目　２文字めもＡ～Ｄのどれでも良いので４通り
３文字目　３文字めもＡ～Ｄのどれでも良いので４通り
であるから、並べ方の総数は　4Π3 = 4・4・4 = 4^3 通り。これが重複順列。
これを拡張して、異なる ｎ 個から r 個を重複を許して並べる並べ方の総数は　nΠr = n^r 。順列とは異なり、重複を許して選んで並べるのだから、r は n より大きくても構わない。例えば、Ａ～Ｄの４文字を重複を許して１００個並べることはできる。その場合の並べ方は 4Π100 = 4^100

順列と重複順列の例は、
５人の人間から３人選んで一列に並べる場合。当然重複はできない（それぞれの人間は一人しかいない）から、普通に順列で 5Ｐ3 = 5!/(5-3)! 通り。
袋の中に１から５が書き込まれたカードが５枚あり、袋から３枚取り出して取り出した順に並べる場合。これも、取り出して並べたらそのカードは袋からなくなるわけで、同じカードは重複して選べないから普通に順列で 5Ｐ3 = 5!/(5-3)!
さいころを３回振ったときの目の出方。これは１回目の振り方で１から６の６通りの目の出方があり、２回目も１回目の結果に無関係に６通りの目の出方がある。さいころを３回振ったときの目の出方は、１から６の数字を重複を許して３個並べる並べ方になるので重複順列で、6Π3 = 6^3
赤、青、白の玉がそれぞれたくさんあって、その３種の玉を５つ並べる場合。それぞれの玉がたくさんあれば、同じ色の玉を重複して選んで並べることができるから、重複順列で 3Π5 = 3^5

回答No.1

sanori

たとえば、
Ａ、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ
という異なる１３枚のカードの山の中から１枚取り出し、
そのカードをいったん山に戻し、
もう１回取り直せば、
「重複を許して２枚取った」ことになります。
１回目がＪ、２回目もＪ　ということがありえるので、「重複を許して」いることになります。

上記から、さらに、また山に戻して、もう１回取り直せば、
「重複を許して３枚取った」ことになります。

１３種類のカードが１枚ずつしかないので、現実には「並べる」ことはできないですが、取ったカードの数字を記録に残すことが「並べる」に相当します。

お礼

重複の意味が良く分かりました。ありがとうございました。