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振動
yagoroの回答
- yagoro
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参考として複素数での解き方を紹介します。 ↓運動方程式が求まったところから。 質点の運動を指数関数 x(t)=e^(st) （←exp(s*t)のこと） とおき、運動方程式に代入します。 するとsは２つの純虚数であることがわかります。 つまり基本解は e^(iwt),e^(-iwt) の形となり、一般解はこれらの重ね合わせ（線形結合）によって x(t)=Ca*e^(iwt)+Cb*e^(-iwt) ・・(3)' と表されます。 ただし、Ca,Cbは複素数です。 題意より、というよりは現実世界の常識より、解は実数です。 したがってxとその複素共役yとの間に x=y が成り立ちます。これを解くとCaとCbが互いに共役のことがわかります。 そこで、Ca,Cbの複素共役をそれぞれDa,Dbとおくと x(t)=Ca*e^(iwt)+Da*e^(-iwt) ・・(4)' ( or x(t)=Db*e^(iwt)+Cb*e^(-iwt) ) と書けます。速度v(t)は(4)'を微分することによって v(t)=iwCa*e^(iwt)-iwDa*e(-iwt) となります。ここで初期条件を上に代入すると Ca+Da=a iw*(Ca-Da)=0 となります。Ca,Daは上の連立方程式の解です。 この解を(4)'に代入し、オイラーの公式を使えば解x(t)が定まります。 計算、がんばって下さい。
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