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相加相乗平均を使う問題、使い方
k_m__の回答
相加平均と相乗平均の不等式は， 条件 1. A，B が共に「負ではない数」（＝0 以上の数）であって， 条件 2. これらの積 AB が「定数」（＝変数を含まないただの数）になり， 条件 3. A=B という不等式の等号成立条件が成り立つことがあるとき， A+B の最小値を求める場合に有効です。 ご質問の問題に適用してみましょう。 A=4a/3，B=64/(3a) のとき，a＞0 なので，A も B も「負ではない数」です。よって条件 1 をクリアしています。 そして，積は AB=256/9 となり，変数 a を含まない「定数」になります。 これで条件 2 もクリアしました。 最後に条件 3 ですが，相加平均と相乗平均の不等式の等号成立条件， すなわち A=B が成り立つような変数 a の値があるかどうかを確認しましょう。 解答の通り，4a/3=64/(3a) を満たす正の数 a として，ちゃんと a=4 があります。 条件 1 については，相加平均と相乗平均の不等式を示すために必須の条件なので，これは絶対に外せません。 条件 2 は応用する際に必要な付加的な条件です。 この条件がないとどうなるか，次の例を考えてみましょう。 「x≧0 において，x^2+1 の最小値を求めよ。」 A=x^2，B=1 とおくと，条件 1 は満たされます。 よって，相加平均と相乗平均の不等式を適用することが出来ます。 その結果，x^2+1≧2√x^2=2x となります。 根号√を外すとき，x≧0 の仮定を用いました。 さて，不等式の等号成立条件から，A=B のとき，すなわち x^2=1 のとき， これは x≧0 より x=1 を意味しますから， 「x=1 のとき，x^2+1 は最小値 1+1=2 をとる」という結論になります。 実は，x^2+1 の最小値は，x=0 のときの 1 なので，この結論は誤りです。 こういう事情で，応用の際には条件2が必要です。
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お礼
丁寧にありがとうございました。 よくわかりました。これから、使ってみようと思います。 ありがとうございました！！