数学の問題が解けなくて困っています

質問

高2生です

f(x.y)=(x-y+1)^2+(x+2y+1)^2 　(0≦x≦1、0≦y≦1)

この関数の最大値と最小値を求める問題なのですが解き方がわかりません

先生はベクトルを使って解く。と言っていました

もしわかる方がいましたら解き方を教えてください
よろしくお願いします

回答No.4

noname#47894

NO.3です。
平行四辺形（R（０，３）としたときのＯＰＱＲ）
ではなくて、（R（０，３）としたときのＯＰＲＱ）
の間違いです。

回答No.3

noname#47894

簡単にするため、ベクトルを使って解くことにします。
O（0,0）として、P（１，１）、Q（－１，２）　、S（x-y，x+2y）とすると、OS→＝xOP→＋yOQ→　、0≦x≦1、0≦y≦1　であるから、OP→とOQ→で挟まれた平行四辺形（R（０，３）としたときのOPQR）の内部および辺上の領域がOS→の表現する領域です。

ここで、点（-1,-1）と点Sとの距離が、f(x,y)ですので、最大最小は、図形的に簡単に解けると思います。

回答No.2

take_5

先ほどは変数変換を使ったが、そんなことしないで、このままxとyの2変数の問題としても解ける。

まずxを変数、yを定数と見て0≦x≦1の範囲で最大値と最小値をyで求める。
次にyを変数に戻して0≦y≦1の範囲で最終的に条件式の最大値と最小値を求める。
逆に、まずyを変数、xを定数と見て0≦y≦1の範囲で最大値と最小値をxで求める。
次にxを変数に戻して0≦x≦1の範囲で最終的な条件式の最大値と最小値を求める、事も可能です。
どちらが簡単かの判断は経験に依る。但し、この問題の場合は、どちらでも大差ないだろう。

この方法は比較的高級で、高2には理解に苦しむかもしれない。
しかし、目指す大学によっては、高3になれば是非とも理解しておかねばならないことになるだろうと思う。

回答No.1

take_5

別にベクトルなんか持ち出さなくても簡単に解けるよ。

x-y+1＝a、x+2y+1＝bとすると、3x＝b-a、3y＝2a+b－3となる。
0≦x≦1、0≦y≦1より、0≦3x≦3、0≦3y≦3であるから、0≦b-a≦3、0≦2a+b－3≦3である。
これをab平面上に図示すると、平行四辺形の内部（周上を含む）である。
又、k＝(x-y+1)^2+(x+2y+1)^2 ＝a＾2＋b＾2であるから、点（a、b）が0≦b-a≦3、0≦2a+b－3≦3の領域にあるときの、円：a＾2＋b＾2＝（√k）＾2の半径（√k）の最大値と最小値を求めると良いことになる。
この円が、平行四辺形と接することは無いから、平行四辺形の４点のうち、原点から最も遠い点で最大、原点から最も近い点で最小になる。

後は、自分で実際に求めてください。