微分の問題

質問

微分の問題で分からないところが出てきました。
f(x)=x/（log_[10](x)）のとき、f'(√e)を求めよ、という問題です。
（log_[10](x)は底が１０ということです）
f(x)がf'(√e)になっているので解き方が全く分かりません。これってどういうことなのでしょうか？
解法を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#57316 · ベストアンサー

f(x)=x/{log_[10](x)}
log_[10]x=ln(x)と書くことにすると、
log_[10](x)=ln(x)/ln(10)　であるから
f(x)=x/{log_[10](x)}=x・ln(10)/ln(x)
f(x)・ln(x)=x・ln(10)

{f’(x)・ln(x)}+{f(x)/x}=ln(10)
f(x)/x=ln(10)/ln(x)　より
{f’(x)・ln(x)}+{ln(10)/ln(x)}=ln(10)
{f’(x)・ln(x)}=ln(10)-{ln(10)/ln(x)}
{f’(x)・ln(x)}=ln(10)・〔1-{1/ln(x)}〕

∴　f’(x)={ln(10)/ln(x)}・〔1-{1/ln(x)}〕

故に、
f’(√e)={ln(10)/ln(√e)}・〔1-{1/ln(√e)}〕
={ln(10)/(1/2)}・〔1-{1/(1/2)}〕
=2・ln(10)・(-1)
=-2・ln(10)

回答No.4

noname#57316

＃３です。
ちょっとしたミスをしました。
二行目、
「　log_[10]x=ln(x)と書くことにすると、」
を、以下のように訂正します。
「　log_[e](x)=ln(x)と書くことにすると、」

回答No.2

info22

底の変換公式
log_[10](x)=log(x)/log(10)=(1/k)*log(x), ただし、k=log(10)
を使って下さい。
f(x)=x/（log_[10](x)）=kx*{log(x)}^(-1)
f'(x)=k/log(x)+kx*(-1)*[{log(x)}^(-2)]*(1/x)
=log(10)*{log(x)-1}/[{log(x)}^2]

log(√e)=(1/2)log(e)=1/2だから
f'(√e)=log(10)*{(1/2)-1}/(1/2)^2=　←後は計算できますね。

回答No.1

noranuko

>f(x)がf'(√e)になっているので解き方が全く分かりません。
f(x)を微分した上で、xに√eを代入すると言う意味。

たとえば、f(x)=x^2+1
という関数があったら、
f(1)はf(1)=1^2+1=1になるのと同様に、
f'(1)はf'(x)=2xなので、
f'(1)=2*1=2
という答えになります。