理論物理と数学

質問

理論物理学に興味があって、そっち方面に行こうか思案中です。
理論物理を学ぶにあたっての数学の勉強法なのですが、やはり厳密な数学の理解が必要とされるのでしょうか。これまでは、数学を道具とみなしていたのでそのような勉強法をとってきませんでした。
経験された方のご意見お待ちしております。

回答No.4

Fuhaima

現状は両者はかなり近接していて、どっちが数学で物理かわからないほど数学化が進んでます。
しかし、いわゆる定義、定理、証明という数学的な展開は必要としていません。指摘のとおりに道具として使われていることが現状でも実態のようです。むしろ、それを使って物理的な結果はどうなるかの導出に力を入れているのは変わりはありません。それでも、証明までは自分でしないにしてもある程度内容に踏み込んで学んでおかないと困る場合もあるようです。

物理学をやる者がどこまで数学に通じていなければならないかというのは昔から難しい問題ですが、最近はウィッテンなんかのように数学先行（彼は今でこそ物理学者ですが、元々数学を修めていて、フィールズ賞を1990年に受賞）で進めてるようなアプローチが目立った成果を出していることもあって、今は数学も重要視されているような感じもしますし、数学者も積極的に入り込んでもいます。
あとは自分の勘ですね。だから研究になるわけで。

なお、以下の私の別の質問への回答も参考になるかと思います。
http://okwave.jp/qa/q8355534.html

回答No.3

pippikoppi

厳密な数学の基礎は必要。実数やε－δ、集合論、線形代数、位相空間、微分方程式論、複素解析、測度論と積分論、実解析、群、環論、多様体、微分幾何等、他にも。いい加減な物理数学は物理の本で学べばいい。数学の基礎は純粋に学んだ方がいい。このぐらいの数学ができなかったら理論物理に行けるのかな？そもそも数学の証明は頭の訓練の為には必要でしょう。もちろん全部を完璧に勉強すると終わらないから基礎や主な話題だけ抑えて適当なところで切り上げるべきだ。あとで知らない事が出てきたら基礎があれば必要なとこだけ勉強できる。そうすればそんなに大変じゃない。例えば解析なんかは積分論の勉強が終わるとグッと視野が広がる。

回答No.2

shun0914

＞これまでは、数学を道具とみなしていた
とありますのでおそらく大学生の方だと思います。教養課程で数学の授業を受けたことはないでしょうか？　数学の教科書を読んだら分かると思いますが、物理で使う数学と純粋数学（たとえ教養課程程度でも）の違いははっきりしていると思います。「厳密さ」はあいまいなので違いと言い切れないかもしれませんが、「性格」が完全に違っています。

たとえば大学一年の数学で必ず勉強する「解析」と「線形代数」を例に取ります。

「解析」では高校の延長線上にある微積分も勉強し、それは理論物理学の基礎中の基礎ですが、ε－δ（a→2のときa^2→4を証明せよ、など）などはまったく物理で不要です。

「線形代数」はベクトルや行列を扱い、やはり理論物理学の基礎中の基礎です。ベクトルの数学的定義くらいは知っておくべきです（高校のようにベクトルを大きさと向きを持つ量と思っていたら、量子力学の状態ベクトルなど何のことか分からないですから）。しかし線形代数の定理－証明の繰り返しはほとんど不要だったりします。

したがいまして、理論物理を勉強するなら大学教養課程くらいの数学はとりあえず全部知っておくほうが良いと思います。その多くが無駄になりますが、無駄なしで勉強して行こうというのは甘い考えです。

またこれと並行して「応用数学」「物理数学」を勉強するのが良いと思います。ただこれらの分野の教科書の多くは「技術者のための使える数学」（Laplace変換など）であり、理論物理用でなかったりします。

私見ですが、最も適切な数学の勉強法は、
「まず物理を勉強して、当然ながら分からない数学が出てくるので対応する数学を勉強すること」
ではないでしょうか？

自分の経験ですが、大学1年のとき「一般相対性理論」を初めて勉強し、テンソルを知らないのでそれを勉強し、また反変・共変の意味（定義くらいは物理の教科書に書いてあるが）が分からずそれを勉強するといった具合でした。

このような勉強法は回りくどく効率的でありませんが、おおよそ大学の勉強はそんなものだと思います。高校や技術専門学校のようにカリキュラムという既定のレールに乗って行けばよいというものではありません。物理や数学のいろんな本を勉強し、おおいに無駄をすることこそ学問だと思います。

お礼

ありがとうございます。
たしかに無駄なしでは勉強できませんね。その無駄を出来るだけ効率のよい無駄となるような勉強の仕方を今後も考えていこうと思います。

回答No.1

risyu

大学で物理学を専攻しているので参考になるかと思い投稿します。

＞厳密な数学の理解が必要とされるのでしょうか。
厳密な数学の理解は必要ありません（少なくとも私はそのように理解しています）。
amcatさんの言うように、物理学は数学を道具として使うだけです。なので必要なものは、「数学的テクニック」です。
「物理数学」というものがありますが、そこで学ぶ内容も、数学でなされるような厳密な証明は重要視されていません（参考として証明が紹介されることがある程度です）。学んだ内容をいかに物理学で使っていくかということに重点が置かれています。
もちろん、数学にも興味があり、「物理学で使う数学の厳密な証明をしたい」というのならば、厳密な証明を学ぶのもよいかもしれません。しかし、厳密な証明などに興味がなければ（時間を割くのがイヤなら）、別にそれを学ぶ必要はありません。

私の解釈になるのかもしれませんが、
物理学では、数学的テクニックは数学屋さんが厳密に証明しているので、物理屋さんが改めて証明する必要はない、と考えるのです。

本屋や図書館などで、一度、「物理数学」に関する本を読んでみてはどうでしょうか？
厳密な証明がなされていないということが分かると思います。

お礼

ありがとうございます。
やはり必要とされるのは数学的テクニックなのですね。
それを踏まえて今後も勉強していこうとおもいます。