極限が発散することの予想

質問

Σ(k=1→n)*1/√kが、極限が発散することの予想はどのようにすればよいのでしょうか。

これを感覚的に予想した上で不等式を証明する問題がありました。

お願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

a[n] = 1/√n
とすると
　　(与式) = Σ[k=1→∞]{a[n]}

すべてのnについてa[n]>0なので、
　　a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+…+a[m^2] > a[1]+a[4]+a[9]+a[16]+…+a[m^2]

ところで右辺は
　　Σ[k=1→m]{a[m^2]} = Σ[k=1→m]1/√(m^2)
　　　　　　　　　　　 = Σ[k=1→m]1/m
というわけで調和級数の和になるのでm→∞で発散

このことよりΣa[k]も発散とわかります。

回答No.2

zk43

Σ(k=1→n)*1/√kはnが大きくなると大体、∫(1,n)1/1√xdxと同じくら
いであり、∫(1,n)1/1√xdx＝2√n－2で、これはn→∞のとき∞に発散
するから、Σ(k=1→n)*1/√kはn→∞のとき∞に発散すると考えられる。
y=1/√xのグラフを描いて考えてみてください。
1+1/2+1/3+…が発散することの証明でも同様のことをするでしょう。

または、調和級数1+1/2+1/3+…が発散することが既知だとすれば、
2＞√2、3＞√3、…より、1/2＜1/√2、1/3＜1/√3、…であり、
1+1/√2+1/√3+…が発散することが分かります。

一般に1+1/2^x+1/3^x+…はx＞1のとき収束し、x≦1のとき発散します。
問題ではx=1/2の場合です。
x≦1では、各項の分母の大きくなる速さが遅すぎて、この級数が収束
するほどに各項が小さくなってくれないのです。
それに反して、x＞1のときは各項の分母が非常に速く大きなり、したが
って、各項が非常に速く小さくなり、この級数は収束するのです。
収束・発散の境目がx=1ということです。
エクセルを持っていたら、実際に数列の値を計算してグラフ表示してみ
て、様子を視覚化すると良いと思います。そんなことをたくさんやって
いるうちに問題を解く前にある程度予想がつくようになるかなと思いま
す。私の高校時代はパソコンやネットなどなかったですが。手計算とか
計算機で苦労してやった方が本当に身につくかな？