高３数学、困っています

質問

【１】
P(x)を(x+2)^3で割った余りが4x^2+3x+5、
P(x)を(x-1)で割った余りが3
のとき、
P(x)を(x+2)^2(x-1)で割った余り

【２】
x^2+1/x^2=3(0<x<1)のとき、
（１）-x^3+2xの値
（２）x=A+1/AとするときA^5の値

色々考えたのですが、これらの問題が分かりません。
ヒントでもいいので、分かる方教えて頂けないでしょうか。

回答No.3

pomnyan · ベストアンサー

ふむふむ。そのおき方ではダメなんです。このタイプはおき方にコツがあります。
問題はこう変わりましたね。
P(x)を(x+2)^2で割った余りが-13x-11、
P(x)を(x-1)で割った余りが3
のとき、P(x)を(x+2)^2(x-1)で割った余りを求めよ。
さて、置き方ですが、
まず、P(x)=(x+2)^2・Q(x)-13x-11
と置けます。ここで、Q(x)から(x-1)部分が飛び出すといい感じになりそうでしょう？
なので、Q(x)=(x-1)・R(x)+r とおきます。ここでrはいくつですか？（Hint：xに1を代入）
そうして、P(x)にこの状態のQ(x)を代入して・・

（２）いい調子ですよ。で、x+1/x=√5の両辺にxをかけると？

お礼

【１】
ありがとうございます！
r=3になり、答えは3x^2-x+1が求まりました！！

【２】（１）
x^2-√5x+1=0
x=(√5-1)/2　(0<x<1)
これを代入して
-x^3+2x=1
↑で大丈夫ですか。

回答No.8

pomnyan

お疲れ様でした♪
P(x)のこのタイプの問題はよく出ますので、覚えておくとお得ですよ。
しかし、たった２問で色々使いましたねー。私も楽しかったです。
こちらこそありがとうございました。

回答No.7

pomnyan

そうですね、実は、(1)の-x^3+2x=1が使えるんです。
これをx^3=2x-1と見ると、右辺の次数を落とせるでしょう？
x^5はx^2(2x-1)とできます。
落としきったところで、xの値を代入すればOKです。
もう答え書いちゃうと、A^5+1/A^5=2で、A^5=1になりました。

お礼

本当だ～！！
出来ました、ありがとうございますっ！！

詳しく分かり易く教えて下さってありがとうございました。
解けて良かったです＾＾
１回のお返事だけでは私が解けなくて、
色々と時間を取らせてしまい申し訳ございませんでした。
本当にありがとうございました。

回答No.6

tarame

>P(x)=(x+2)^2(x-1)Q4(x)+ax^2+bx+c　とおいて考えてみたのですが、
>P(-2)=4a-2b+c=15
>P(1)=a+b+c=3
>となり、a,b,cを求めるにはもう１つ足りませんでした。

もうひとつは、
P(x)を(x+2)^2で割った余りが　-13x-11 であることを使います。
ax^2+bx+c＝a(x+2)^2+(-4a+b)x+(-4a+c)　より
-4a+b＝-13
-4a+c＝-11 ができました。

お礼

ありがとうございます！
足りなかったのはそこなんですね！
２つしか条件式ないから無理だ～
と諦めていたので、分かって良かったです。
詳しく教えてくださってありがとうございました。

回答No.5

pomnyan

それで合ってます！
(2)については、A^5+1/A^5をなんとかxで表せませんか？
(1)の応用で、A^2+1/A^2をxで表す要領で。
そうすると、A^5+1/A^5がxの式になりますので、(1)と同じようにxの式を簡単にして。
それからB=A^5とおいてもう一回解けばでてくるんじゃないかな。

お礼

ありがとうございます！

おっしゃる通りにやってみました。
A^5+1/A^5=x^5-5x^3+5x
になりました。
これを簡単にするとはどうするんですか？
このまま
B+1/B=x^5-5x^3+5x
という風にはしないってことですよね＞＜
やっぱり右辺を更に変形してからBでおいて考えるんでしょうか。

回答No.4

koko_u_

>P(x)=(x+2)^2(x-1)Q4(x)+ax^2+bx+c　とおいて考えてみたのですが、
>P(-2)=4a-2b+c=15
>P(1)=a+b+c=3
>となり、a,b,cを求めるにはもう１つ足りませんでした。
てっとり早いのは

P(x)=(x+2)^3Q1(x)+4x^2+3x+5

を微分して P'(x) = 3(x+2)^2 Q1(x) + (x+2)^3 Q1'(x) + 8x + 3
として P'(-2) = -13

P(x) = (x+2)^2(x-1)Q4(x) + ax^2 + bx + c を微分すると

P'(x) = 2(x+2)(x-1)Q4(x) + (x+2)^2Q4(x) + (x+2)^2(x-1)Q4'(x) + 2ax + b
だから -13 = P'(-2) = -4a + b

お礼

ありがとうございます！
この方法でもやってみました＾＾
a=3,b=-1,c=1
が求められました。
微分ってこういうときにも使えるんですね！
覚えておきます。

回答No.2

pomnyan

解けます、大丈夫。Hintね。
（１）
P(x)を(x+2)^3で割った余りが分かってるから、(x+2)^2で割った余りもわかるんじゃないかな？そうすると後はよく見る問題になりますね。

（２）
x^2+1/x^2の形って、どこかで見ませんでしたか？これから、うまくx+1/xの値が求まって、しかもxの値も求まってしまいます。

お礼

ヒントありがとうございます。
【１】
No.1さんに補足した考え方で合っていますか？
(x+2)^2で割った余りは-13x-11になりますよね？；

【２】
x+1/x=√5までは求めましたが、後が分かりません…

補足

↓【２】↓
x=√5-1/2
出ました！！

回答No.1

koko_u_

>色々考えたのですが
その色々考えた内容を補足にどうぞ。

補足

お返事ありがとうございます。

【１】について
P(x)=(x+2)^3Q1(x)+4x^2+3x+5　より、P(-2)=15…(1)
P(x)=(x-1)Q2(x)+3　より、P(1)=3…(2)
また、P(x)を(x+2)(x-1)で割った余りは、(1),(2)より-4x+7
まずはここまで考えました。
★そこで
P(x)=(x+2)^2(x-1)Q4(x)+ax^2+bx+c　とおいて考えてみたのですが、
P(-2)=4a-2b+c=15
P(1)=a+b+c=3
となり、a,b,cを求めるにはもう１つ足りませんでした。
★他に
P(x)=(x+2)^3Q1(x)+4x^2+3x+5　を変形していく方法をとってみました。
P(x)=(x+2)^2(x+2)Q1(x)+4(x+2)^2-13x-11
=(x+2)^2{(x+2)Q1(x)+4}-13x-11
このあとをどう続ければ良いのか分かりません。

【２】（１）について
x^2=α,1/x^2=β　とおくと　α+β=3,αβ=1
と表すことができると考えました。
しかしこれを用いるかどうかも分からず、
与式を変形したりして-x^3+2xにならないかと考えましたが、
分かりませんでした。
（２）については手を付けられませんでした。