- ベストアンサー
正八角形で・・・・
rethourgiaの回答
こんばんは 正八角形の頂点のうち3つの頂点を結んで直角三角形でない三角形をいくつ作れるかについて、2つの解法を書きますね。 1.正八角形の頂点のうち3つの頂点を結んでできる全ての三角形の数から、そのうちの直角三角形の数を差し引く方法 正八角形の頂点のうち3つの頂点を結んでできる全ての三角形の数は、 8C3 = 8! ÷ (3! × 5!) = 56 ・・・(1) ですね。 次に、直角三角形の数を求めるわけですが、次のように考えてください。 ・直角三角形となる三角形は、元の正八角形の中心を通る対角線を一辺とした三角形であり、逆に、正八角形の中心を通る対角線を一辺とした三角形は直角三角形である。 ・元の正八角形の中心を通る対角線1本につき、直角三角形は6個作れる。 ・元の正八角形の中心を通る対角線は、4本ある。 これから、直角三角形の数は、 6 × 4 = 24 ・・・(2) です。 (1)と(2)から、正八角形の頂点のうち3つの頂点を結んで直角三角形でない三角形の数は、 56 - 24 =32(個) となります。 2.直角三角形とならないように、1頂点ずつ選んでゆく方法 まず、正八角形の頂点から、最初の頂点を選びます。最初なので条件はなく、 8通り 選ぶことができます。 次に、2番目の頂点を選びます。このとき、最初に選んだ1頂点を選ぶことはできず、また、その正反対にある1頂点を選ぶと直角三角形になってしまうので、選べるのは 6通り となります。 最後に、3番目の頂点を選びます。このとき、これまでに選んだ2頂点を選ぶことはできず、それらの正反対にある2頂点を選ぶと直角三角形になってしまうので、選べるのは 4通り となります。 したがって、三角形の頂点の選び方は、順番を考慮した上では 8 × 6 × 4 = 192通り となります。 しかしこれは、頂点の選ばれた順番を考慮してしまっているので、1つの三角形にについて3!通り数えていることになります。そのため、正八角形の頂点のうち3つの頂点を結んで直角三角形でない三角形の数は、 192 ÷ 3! = 32(個) となります。
関連するQ&A
- 立方体の中の正八面体
一辺10cmの立方体の中に、正八面体が入っている場合(6つの頂点が、立方体それぞれの面の中央に接している)の、正八面体の正三角形の一辺の長さの出し方、および正八面体の体積の出し方を、中学1年生にもわかるよう教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正八面体の中になる最大の正四面体
とあるサイト、 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/724_p14.htm に、「正八面体のひとつの面が正四面体の面と一致し,残りの頂点が正八面体の面の接触するとき,正八面体に内接する最大の正四面体が得られます.このとき,体積比は √2/12・3/√2=1/4=0.25 になります.」 とあります。 感覚的にはそうかな、と思うのですが、どのように証明するのでしょうか。 何か載っている本がありましたら教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正八面体の各面に、辺に接しないように円を描き、それぞれの円周上に任意の
正八面体の各面に、辺に接しないように円を描き、それぞれの円周上に任意の3点を取った。また、その正八面体の各面を赤色、青色、緑色各1面、黒色5面に塗り分けた。この正八面体の内部に、3点を結んで三角形を作る時、一つの頂点は黒色で他の2頂点は赤、青、緑のいずれか2色になる三角形はいくつか。 解説↓ 三角形の色の組み合わせは(黒・赤・緑)(黒・赤・青)(黒・青・緑)の3通りが考えられる。 1つの面から3つの頂点を取ることになる。 黒は5面なので5*3=15通り。 赤・青・緑はそれぞれ3通り。 15*3*3=135(黒・赤・緑)。 この色の組み合わせが3種類あるので、135*3=405通り。 解説で、1つの面から3つの頂点を取ることになるとありますが、1つの面から頂点は1つではないのかと思っているのですが、問題の意味が理解できません。 また、赤・青・緑はそれぞれ3通りというのもどうしてそうなるのか分かりません。 解答を読んだだけではイメージがうまくわかないので、申し訳ないですがやり方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
とても分かりやすい解説ありがとうございます。どちらの解答もとても参考になりました。長い文章お疲れ様です!