微分の問題なんですが

質問

y=e^x-e^(-x)/(e^x+e^(-x))の逆関数の第一次導関数を求めたいのですが、やり方が全くわかりません
誰か時間のあるときでいいので、教えてください
おねがいします

回答No.1

wogota · ベストアンサー

ヒントを与えるとすると、
f(x)=(e^x)-(e^-x)
g(x)=(e^x)+(e^-x)
と置いてみましょう。ここで、f,gの導関数を考えると
f'(x)=g(x), g'(x)=f(x)になることが解ると思います。
また、y=f(x)/g(x)となるので、積の導関数であらわすことができます。

積の導関数より、
y'=f'(x)(1/g(x))+f(x)(1/g(x))'
　=f'(x)(1/g(x))+f(x)(-(g'(x)/g^2(x)))
　=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)
となります。よって、
y'=(g^2(x)-f^2(x))/g^2(x)
となり、あとは、f,gの関数式を元に戻して計算してみましょう。

回答No.2

oshiete_goo

[別解]
双曲線関数が主題なので，＃１さんのご解説が模範的だと思いますが，
比較のために少し違う方針でもやってみてはどうでしょう．

y={e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}
={e^(2x)-1}/{e^(2x)+1} [分母分子にe^xを掛けた]
=1- 2/{e^(2x)+1}

これをxで微分して，{1/u(x)}'=-u'/u^2 より
dy/dx=0＋2*{e^(2x)+1}'/{e^(2x)+1}^2
=2*2e^(2x)/{e^(2x)+1}^2
=4/{e^x+e^(-x)}^2　 [分母分子をe^(2x)で割った]

元の関数y=F(x)の逆関数の導関数はdx/dy=１／(dy/dx)なので，
dx/dy=(1/4){e^x+e^(-x)}^2 ・・・(答)