基礎的な統計学の問題です

質問

最近、統計学を学び始めたものです。
問題を解いていて、解き方に自信がないものがありましたので質問させていただきます。

問題「ある種類のマウスの体重は平均60.5g、標準偏差10.2gで正規分布しているとすると、50g以上70g以下のマウスはどれくらいの割合か。有効数字3桁で計算せよ。」（この問題を解くのにα→ｚ（α）の標準正規分布表のみ配布されました）

私の解答「70.1g以上のマウスの割合は、(70.1-60.5)/10.2=0.961より正規分布表からz=0.16853　また、49.9g以下のマウスの割合は、(49.9-60.3)/10.2=-1.01より正規分布表からz=0.15625と分かる。これらのことから、50g以上70g以下のマウスの割合は、1-(0.16853＋0.15625)=0.67522≒0.675となる」

これで合っているのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.4

rabbit_cat · ベストアンサー

ちなみに、どうでもいいことですが厳密に言い出すと、この問題は、問題自体が変です。

＞ある種類のマウスの体重は平均60.5g、標準偏差10.2gで正規分布している
本当にこれが正しいとすると、
1.50×10^-9 ぐらいの確率でこのマウスの体重はマイナスになってしまいます。

回答No.3

kumipapa

＞　「50gより重く70g未満のマウス」になってしまう気がします。連続した正規分布と考える場合、そういうことにはならないのでしょうか？

なるほど、おもしろい質問ですね。うまく説明できるかな・・・。

それでは、「50ｇ以上、70g以下」を調べたいとき、１から何を引けばいいだろう？「49.9g以下、70.1g以上」？それを１から引いたら49.9001gとか70.0999gのマウスの割合まで含めてしまいますよね？「49.9999g以下、70.0001g以上」を引いても49.99991gや70.00009gのマウスが入っちゃう。
離散分布ではなく正規分布ですので、「50gより重く70g未満のマウス」と「50g以上70g以下のマウス」は同じなんです。

確率密度関数というのは確率そのものではないですよね。ある範囲について積分すると、確率変数がその範囲入る確率を与えてくれる。
それでは、ちょうど a (ちょうど50gとか70g）になる確率はいくらになりますか？正規分布の確率密度関数をf(x)として
∫(aからaまで)f(x)dx
ですね。これ、０です。

正規分布表はＰ（ｚ≦ｚ0）のものと、Ｐ（ｚ≧ｚ0）のものがありますが、どちらも等号がついているのに、足すと１です。正規分布で z=z0の１点を入れても入れなくても、確率は変わらないんですね。

厳密にはもっと難しいことをきちんと言わないといけないのだろうけど、取り敢えずこんなところで。

回答No.2

kumipapa

計算手順はバッチリＯＫだと思います。全然問題なし。

平均が60.3gだったとして、(49.9-60.3)/10.2=-1.0196... は -1.02とした方が良いのでは（細かな話でごめんなさい）。

それから、何故、70.1g以上と49.9g以下を計算したのでしょうか？
多分、体重計の読みが0.1g単位だと想定した上で、測定データの量子化っていうのかな？まるめっていうのかな？そういうことを考えられたのだと思うのですが、それなら70.05と49.95にするべきかもしれないし・・・。質問者さんの計算だと、重さｘが 70≦x＜70.1 のときに70.0gと表示されるという考え方になりますね。それならば 69.95≦x＜70.05 のときに70.0gと表示されると考えるのもアリだと思いますよ。いずれにせよ、その点は明示しておいた方がよろしいのではないでしょうか。
また、問題の意味が、
（１）「マウスの重さが50g以上70g以下」である割合なのか、
（２）「マウスを測ったときの体重計の表示が50g以上、70g以下」である割合なのか、
によって変わるでしょう。
質問者さんのように、49.9とか70.1というように考えるのは、体重計の表示精度を考慮した考え方なので（２）に対応した考え方です。
もし、（１）で考えるならば、49.9とか70.1で計算するのではなく、マウスの体重は正規分布という連続な分布だと考えているわけですから50と70で計算すべきでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

問題の意味は、おそらく（１）の考え方だと思います。
（１）の場合、５０と７０で計算すべきとご教授いただきました。
この件でまだ分らない部分があるのですが、私の計算方法ですと、まず５０g以下の割合と70g以上の割合を求め、１ー（それら求めた割合の和）という計算をしますが、これによって求まる割合は、体重が「50gより重く70g未満のマウス」になってしまう気がします。連続した正規分布と考える場合、そういうことにはならないのでしょうか？

お手数をおかけして申し訳ござませんが、お願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat

いいのではないでしょうか。

＞マウスの体重は平均60.5g、標準偏差10.2g
数字からして、多分、平均60.3gの間違いですよね？
もしくは、60.2gくらいか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

マウスの平均体重間違っておりました。大変もうしわけございません。
ご指摘ありがとうございます。