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統計学について

統計学の問題です。全然わからなくて困っています。解答、解説をよろしくお願いします。問題は以下です。 ある合板は量産されていて、表板と裏板の2層から成っている。表板の厚さXは平均0.4cm,標準偏差0.03cmの正規分布に従い、裏板の厚さYは平均0.6cm、標準偏差0.04cmの正規分布に従うとする。このとき、合板の厚さZ=X+Yはどのような分布に従うか。ただし、張り合わす合板の表裏は独立とする。

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X,Yはそれぞれ正規分布 N(EX,(sx)^2),(EX=0.4,sx=√{E(X-EX)^2}=0.03) N(EY,(sy)^2),(EY=0.6,sy=√{E(Y-EY)^2}=0.04) に従う互いに独立な確率変数で Z=X+Y とする Xの確率密度は P(X=x)=[1/{sx√(2π)}]e^{-[(x-(EX))^2]/(2(sx)^2)} Yの確率密度は P(Y=x)=[1/{sy√(2π)}]e^{-[(x-(EY))^2]/(2(sy)^2)} Xの特性関数は Ee^{itX}=e^{-[{(sx)^2}(t^2)/2]+itEX} Yの特性関数は Ee^{itY}=e^{-[{(sy)^2}(t^2)/2]+itEY} Z=X+Yの特性関数は Ee^{itZ}=Ee^{itX}Ee^{itY}=e^{-[{(sx)^2+(sy)^2}(t^2)/2]+it(EX+EY)} これは N(EX+EY,(sx)^2+(sy)^2)の特性関数で 平均EX+EY=0.4+0.6=1 標準偏差√{(sx)^2+(sy)^2}=√{(0.03)^2+(0.04)^2}=0.005 だから Zは 平均1,標準偏差0.05の正規分布 に従う

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