推移確率行列

質問

{3/4,1/4}
{1/4,3/4}という推移確率行列Pを定義する

P^2はどうなるのでしょうか？
またP^nはどうなるのでしょうか？

推移確率行列は普通の行列の計算と違うみたいで・・
ほんと基本的なことでごめんなさい

回答No.1

ka1234

こんにちは。

確率行列も普通の行列と同じです。
以後、2×2 行列を (a, b, c, d) のように書きます。

P＝(3/4, 1/4, 1/4, 3/4) の時、

[1]　P^2＝(3/4, 1/4, 1/4, 3/4) (3/4, 1/4, 1/4, 3/4)
　　　　＝(5/8, 3/8, 3/8, 5/8)（答え）
[2]
(1)　n乗計算のために固有方程式を解きます。
　　λ^2-(3/2)λ+(1/2)＝0より、λ＝1,1/2
　（固有値に1が含まれ、他の固有値の絶対値は1以下です）

(2)　P(1, 1)＝(1, 1) かつ P(1, -1)＝(1/2)(1, -1)（本当は縦ベクトルです）
　　となるから、
　　P^n(1, 1)＝(1, 1) かつ P^n(1, -1)＝(1/2)^n(1, -1)
　∴P^n(1, 1, 1, -1)＝(1, 1, (1/2)^n, -(1/2)^n) となり、
　　P^n＝(1/2)(1+(1/2)^n, 1-(1/2)^n, 1+(1/2)^n, 1-(1/2)^n)（答え）

(3)　極限をとってみます。
　　limP^n [n→∞]
　＝lim(1/2)(1+(1/2)^n, 1-(1/2)^n, 1+(1/2)^n, 1-(1/2)^n)
　＝(1/2)(1, 1, 1, 1) となります。