【確率過程】推移確率行列の導出方法

質問

箱Ａには赤玉1個白玉2個、箱Bには赤玉2個白玉1個が入っている。
それぞれの箱から球を一個取り出し交換する試行を繰り返す。
n回の施行の直後のAの赤玉の個数をXnとする。X0＝1に注意する。
明らかにXn.はマルコフ連鎖になるが、その推移確率行列を求めよ。

[0,1,0,0]
[1/9,4/9,4/9,0]
[0,4/9,4/9,1/9]
[0,0,1,0]

答えには上の推移確率行列だけが記されていましたが、各成分はどういう風にして導出されたのでしょうか。
問題文から上の推移行列を作成する方法を教えてください。
どなたかご教示のほど、どうかよろしくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

常に以下のことが成立ちます。
● Aの赤玉の個数とBの赤玉の個数は合計3である。
● Aの白玉の個数とBの白玉の個数は合計3である。
● Aの玉の個数は３である。
● Bの玉の個数は3である。
なので、
Aの赤玉の個数Xは、0,1,2,3のどれかです。
そして、Bの赤玉の個数Yは3-Xですから、赤玉の個数Xだけ分かれば、A,Bにそれぞれ赤がいくつ、白がいくつ入っているかが決まってしまいます。

　さて、たとえば、Aから赤、Bから白を引く確率をP(赤,白)のように書く事にします。
　　P(a,b)=(Aからa色の玉を引く確率)×(Bからb色の玉を引く確率）
　　= (Aのa色の玉の数)×(Bのb色の玉の数)÷9
ですね。
　n-1回の試行が終わったときのAの赤玉の個数をX[n-1]とします。X[n-1]が0～3であるそれぞれの場合について、次の試行でAの赤玉の個数X[n]が0になる確率, 1になる確率, …を計算します。

X[n-1]=0のとき、Aは赤0個白3個、Bは赤3個白0個。つまり、Aには白玉しかないし、Bには赤玉しかない。当然、
P(赤,赤)=0
P(赤,白)=0
P(白,赤)=1 → このとき、Aの赤玉が1個増えて、Bの赤玉は1個減ります。だからX[n]=1になる。
P(白,白)=0
まとめると、
X[n]=0となる確率は 0
X[n]=1となる確率は 1
X[n]=2となる確率は 0
X[n]=3となる確率は 0
です。

X[n-1]=1のとき、Aは赤1個白2個、Bは赤2個白1個。
P(赤,赤)=(Aから赤を引く確率)×(Bから赤を引く確率) = (1/3)×(2/3) → X[n]=1
P(赤,白)=(Aから赤を引く確率)×(Bから白を引く確率) = (1/3)×(1/3) → X[n]=0
P(白,赤)=(Aから白を引く確率)×(Bから赤を引く確率) = (2/3)×(2/3) → X[n]=2
P(白,白)=(Aから白を引く確率)×(Bから白を引く確率) = (2/3)×(1/3) → X[n]=1
つまり、
X[n]=0となる確率は 1/9
X[n]=1となる確率は 4/9
X[n]=2となる確率は 4/9
X[n]=3となる確率は 0

以下同様に計算して、i=X[n-1]がj=X[n]になる確率をi行j列に書き込んだものが、推移確率行列。

お礼

ありがとうございます！
まさにこれが知りたかったのです。

回答No.2

takuna1113

A赤１+B白２＝３　白A2+赤１＝３対３で引き分け。

回答No.1

hrsmmhr

一方の箱の一方の色の球数が決まると、他方の色も他方の箱の配分も全部決まるので
次の試行での遷移確率は、箱A,Bの引いた球の色の出る確率で計算できます

箱Aが白ばっかりなら、箱Bは赤ばっかりで、どちらも確率１で白、赤を引いて交換する

みたいに計算します