高校でやった数学

質問

高校の数学Iでした内容だったと思うのですが、
ｎ（A∪B∪C）＝ｎ（A）＋ｎ（B）＋ｎ（C）－ｎ（A∩B）－ｎ（B∩C）－ｎ（C∩A）＋ｎ（A∩B∩C）になることの証明をしたいのですがわかりません。。。
左辺を展開する？－がでてくるところからもうチンプンカンプンです。。。

回答No.1

---------- · ベストアンサー

図を描いて考えればすぐにわかると思うんですけどね。

ｎ（Ｘ∪Ｙ）＝ｎ（Ｘ）＋ｎ（Ｙ）－ｎ（Ｘ∩Ｙ）・・・（１）
はわかりますか？
ＸまたはＹというのは、ＸとＹを足し合わせたものから、
ＸとＹ両方に含まれているもの、
つまり、ダブっているものをひいたものに等しい
ということです。

（１）にＸ＝Ａ∪ＢとしてＹ＝Ｃとしてみると、
ｎ（（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ）＝ｎ（Ａ∪Ｂ）＋ｎ（Ｃ）－ｎ（（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ）
さらに一項目にもう一度（１）を使うと
ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）－ｎ（Ａ∩Ｂ）＋ｎ（Ｃ）－ｎ（（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ）
（３）
となります。

ここで、さらに（１）の応用版で次が成り立ちます。
ｎ（（Ｘ∪Ｙ）∩Ｚ）＝ｎ（Ｘ∩Ｚ）＋ｎ（Ｙ∩Ｚ）
　－ｎ（（Ｘ∩Ｙ）∩Ｚ）・・・（２）
これは（１）の式でＺとの共有部分のみをみているので
成り立つのはわかると思います。
これも図を書けばすぐわかりますが、
たとえば、数学か英語が好きな人は、
数学が好きな人と英語が好きな人の合計から
数学も英語も好きな人を引けばでてきますが、
それは、受験生だけに限定しても成り立ちますよね。
つまり、数学か英語が好きな受験生は、
数学が好きな人と英語が好きな受験生の合計から
数学も英語も好きな受験生を引けばでてきますよね。
このように、（１）は全体をある部分（今の式ではＺ）に
限定しても成り立ちます。

で、この（２）にＡとＢとＣをいれると
ｎ（（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ）＝ｎ（Ａ∩Ｃ）＋ｎ（Ｂ∩Ｃ）
　－ｎ（（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ）
が成り立ちます。
これを（３）の最後の項に適用すると、完成です。

お礼

私にもわかりやすくていねいに答えていただきありがとうございます！
やはり読みながらすぐに理解できませんでしたが（＾＾；）、
ゆっくり一つずつ図を書きながら見ていくと理解できました。
すっきりしました☆ありがとうございました！

回答No.2

DONTARON

n(Ａ∪Ｂ)＝{ｎ(Ａ)－ｎ(Ａ∩Ｂ)}＋{ｎ(Ｂ)－ｎ(Ａ∩Ｂ)}＋ｎ(Ａ∩Ｂ)
　＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)－ｎ(Ａ∩Ｂ)

ｎ(Ａ∪Ｂ∪Ｃ)＝ｎ((Ａ∪Ｂ)∪Ｃ)
　＝ｎ(Ａ∪Ｂ)＋ｎ(Ｃ)－ｎ((Ａ∪Ｂ)∩Ｃ)
　＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)－ｎ(Ａ∩Ｂ)＋ｎ(Ｃ)－ｎ((Ａ∩Ｃ)∪(Ｂ∩Ｃ))
　＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)＋ｎ(Ｃ)－ｎ(Ａ∩Ｂ)－{ｎ(Ａ∩Ｃ)＋ｎ(Ｂ∩Ｃ)－ｎ((Ａ∩Ｃ)∩(Ｂ∩Ｃ)}
後は展開すればいいと思います。
長いので書き間違いがあるかもしれませんが。

お礼

このようになるのですね！
DONTARONさんの回答を紙に写しながら、頭の中を整理していきました。
本当に助かりました（＾＾）
ありがとうございました。