空間ベクトルの内積で・・・

質問

数研出版の新課程スタンダート数学II＋Ｂの問題なのですが、詳解がなく解答できずに困っています。
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128　3つのベクトルａ＝(ｘ,１,２)、ｂ＝(－１,ｙ,０)、ｃ＝(１,－√２,ｚ)がある。
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ａとｂとは垂直、ａとｃとは120°の角をなし、ｃの大きさは２である。ｘ、ｙ、ｚの値を求めよ。

という問題です。
途中式があると嬉しいですが、どのような手段で解けばいいか順を追って説明してくれても助かります。
よろしくお願いします。

回答No.6

Meowth

条件１つ抜かしてました。
x－√２+2z=-｜ａ｜
から
ｘ＝(6+7√２)/4　ｚ＝１
はだめ、
x=ｙ＝(-6+7√２)/4
z=-1

お礼

記入漏れでしたが、なぜｚ＝１がダメだなのか、ということまで教えていただいてありがとうございます！
助かりました！

回答No.5

tecchan22

＃４です。
一気に回答が出てきましたね。
計算は＃３でいいと思いますが、ｚ＝１の方は不適になりますので注意。
解答は後ろにあるから大丈夫でしょうが。

回答No.4

tecchan22

よく考えてごらん。
ｃの大きさが２からは、ｚの値がまず出てくるでしょう？（１か－１）
ａとｂが垂直からは、ｘ＝ｙが出て来るでしょう？

まず、簡単な条件から考えて行くんです。

最後に残ったのが、ａとｃのなす角１２０°ですが、これを使って、
ｘを出すんです。

ｚ＝１と－１とで、場合分けしてやるといいでしょう。

回答No.3

Meowth

ａとｂとは垂直
(ｘ,１,２)・(－１,ｙ,０)＝０
-x+y=0 ⇒ｘ＝ｙ
ｃの大きさは２
｜(１,－√２,ｚ)｜＾２＝４
z^2+1+2=4
z^2=1
z=±1
ａとｃとは120°の角をなす
(ｘ,１,２)・(１,－√２,ｚ)＝｜ａ｜・２・cos120°
x－√２+2z=-｜ａ｜
｜ａ｜^2=x^2+5
z=1のとき
｛x－√２+2｝＾２＝x^2+5
x^2+2(2-√２)x+(2-√２)^2=x^2+5
x =(-1+4√２)/(2(2-√２))
x=(-1+4√２)(2+√２))/4
=(6+7√２)/4

z=-1のとき
｛x－√２-2｝＾２＝x^2+5
x^2-2(2+√２)x+(2+√２)^2=x^2+5
-2(2+√２)x+(2+√２)^2=+5
2(2+√２)x＝4√２+１
x =(1+4√２)/(2(2＋√２))
x=(1+4√２)(2-√２))/4
x=(-6+7√２)/4

x＝ｙ＝(±6+7√２)/4、ｚ＝±１

回答No.2

noname#47894

|c|=2　(1)
a・b=0　(2)（垂直⇔内積が０）
a・c=|a||c|cos120°(3)
から、三つの方程式を立てます。

絶対値や内積については参考書に出し方が必ず出ていますが、念のため x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3)について
|x|=√(x1^2+x2^2+x3^2)
x・y=x1*y1+x2*y2+x3*y3

手順は、文字の少ないもの、次数の低いものから手をつけたほうが楽ですが、例えば(1)でｚを確定、(3)でｘを確定（たぶん二つ出てきます）、(2)でｙを確定、でいいと思います。

回答No.1

gruska

まずベクトルcの大きさが２と決まっているのでここからzが求まります。例えばベクトルv=(u,w)であれば|v|^2=u^2+w^2。
次に内積の定義の式(a・b=|a||b|cosθ　(θはベクトルaとベクトルbのなす角))を使えばxとyに関する式とxとzに関する式が出るのでこれらの式を解くとx,y,zが求まると思います。
おそらく解は２通りあると思います。