ベクトル方程式

質問

ベクトル方程式の問題を解いていて分からない問題がいくつかあったのでもし良かったら解く過程を教えてもらっても良いでしょうか??

１.次の平面の式を求めよ。
　(1)2x-3y+z-2=0に平行でA(2,1,0)を通る。
　(2)A（3,0,0)、B(0,-1,0）を通りz軸に平行。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →
　(3)A（1,1,1)、B(2,-1,3）を通りｎ=(-1,2,1)に平行。

回答No.6

ka1234

こんにちは。

まず、平面の方程式を求めるには、
[1]「法線ベクトルと通る1点」が分かればよい。
というのが重要事項です。

平面は「通る3点」で決まるというのは、
ご存知だと思いますが、ベクトルでは上の[1]のように考えます。
それで、[1]の方程式による表現が、次の[2]になることがポイントです。

[2] n・x=n・a
ここで、nは法線ベクトル、aは通る1点です。xは平面上の点です。
これが平面のベクトル方程式です。使う式はこれだけです。
では解いてみます。

[解答]
(1) まず法線ベクトルを求める。n=(2, -3, 1)と分かる。

　　n・x=n・aより、

　　(2, -3, 1)・(x, y, z)＝(2, -3, 1)・(2, 1, 0)
　　（答え）2x-3y+z=1

(2)まず法線ベクトルを求める。法線ベクトルはz軸とABに垂直であるから、
　　(0, 0, 1)と(-3, -1, 0)の両方に垂直なベクトルを求めればよい。
　　n=(1, -3, 0)と求まる。

　　n・x=n・aより、

　　(1, -3, 0)・(x, y, z)＝(1, -3, 0)・(3, 0, 0)
　　（答え）x-3y=3

(3)まず法線ベクトルを求める。法線ベクトルは(-1, 2, 1)とABに垂直であるから、
　　(-1, 2, 1)と(1, -2, 2)の両方に垂直なベクトルを求めればよい。
　　n=(2, 1, 0)と求まる。

　　n・x=n・aより、

　　(2, 1, 0)・(x, y, z)＝(2, 1, 0)・(1, 1, 1)
　　（答え）2x+y=3

とにかく、n・x＝n・a　（法線ベクトルと通る1点）
だけがポイントです。なお２つのベクトルに垂直なベクトルの求め方は
問題集に載っていると思います。

回答No.5

noname#47894

>平行なのに法線ベクトルを使うんですか??平行なときは直線ベクトルで、法泉ベクトルは垂直のときって覚えてたんですけど…。

平面図形なら、それでも良いですが、空間図形は、そういうわけにはいきません。
平面を決めるには、最低2本の平行ではない直線が必要ですので、平面にたいしては、方向ベクトル1本では、決定できません。
一方、ある面に垂直な直線は、全て向きが揃っているので（逆向きも混みですが）、これを使えば、平面の傾き加減を一本のベクトルで決定できます。これが、法線ベクトルを使う理由です。

もっとも(2)は、(3)は次のような卑怯なやり方もあります。

A（3,0,0)、B(0,-1,0）を通りz軸に平行。ということは、A（3,0,0)から、z軸方向に移動した、（3,0,1）も通る（数字はなんでもいいです。計算しやすいように小さい数字で）。平面は3点あれば決定できるので、
ax+by+cz=kに代入して、3a=k、3a+c=k、-b=k　a:b:c:k=k/3:-k:0:k=1：-3：0：3　よって、x-3y=3
＊）この平面の法線ベクトルは（1,-3,0）であり、z軸の方向ベクトル(0,0,1)と垂直であるから、求めた平面はz軸に平行。
よって、x-3y=3　//

A（1,1,1)、B(2,-1,3）を通りｎ=(-1,2,1)に平行。ということは、A（1,1,1)から、(-1,2,1)移動した（0,3,2）も通る。
ax+by+cz=kに代入し、a+b+c=k、2a-b+3c=k、3b+2c=k
a:b:c:k=2k/3:k/3:0:k=2：1：0：3　よって、2x+y=3
＊）この平面の法線ベクトルは（2,1,0）であり、n(-1,2,1)と垂直（（2,1,0）・(-1,2,1)＝０より）。よって、求めた平面は、nに平行である。
よって、2x+y=3　//

＊以降は、求めた式が十分条件であることを示しています（求めた面が、実際に与えられたベクトルと平行であることを示す）。これがないと、必要条件のみであるとして、文句がつくおそれはあります。

回答No.4

Meowth

(2)はa(-3)+b(-1)=0までは理解できました。
a(-3)+b(-1)=0　
b=-3a
として、
a(x-3)+by=0
に代入してもいい。
a(x-3)-3ay=0
aで割って、
x-3-3y=0

または、法線ベクトルでは比だけが求まればいいから、
b=-3aからa：ｂの比を求めると、

a:b=1:-3

x-3-3y=0 x-3y-3=0

(3)
a(x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0
に
c=0
a=2b
を代入してもよい。
2b(x-1)+b(y-1)+0(z-1)=0
2b(x-1)+b(y-1)=0
bで割って、
2(x-1)+(y-1)=0
または、a：ｂから法線ベクトルを求めても同じ

回答No.3

Tacosan

既に答えは出ているので蛇足なんですが考え方だけ:
ひたすら「法線ベクトル」と言ってますが, これが求まらないとあまりうれしくないんですよ. そもそも ax + by + cz = d という平面の方程式そのものが (a, b, c) という法線を表していますし.

回答No.2

Meowth

(1)2x-3y+z-2=0に平行でA(2,1,0)を通る。
(2,1,0)を通り法線ベクトルが（2,-3,1)の直線は
2(x-2)-3(y-1)+z=0
2x-3y+z-1=0

(2)A（3,0,0)、B(0,-1,0）を通りz軸に平行。
z軸に平行だから、法線ベクトルは（a,b,0)
とおける。（3,0,0)を通る直線は、
a(x-3)+by=0
(0,-1,0）を通ることから
a(-3)+b(-1)=0
a:b=1:-3
x-3-3y=0 x-3y-3=0

(3)
（1,1,1)を通ることから
法線ベクトルを(a,b,c)とすると、
a(x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0
法線ベクトルは　ABとｎに直交するから
(a,b,c)・(-1,2,1)=0
(a,b,c)・（2-1,-1-1,3-1)=0
-a+2b+c=0
a-2b+2c=0
c=0
a=2b
a:b=2:1

2(x-1)+(y-1)=0
2x+y-3=0

補足

面倒なことをわざわざ本当にありがとうございます。
(1)は理解しました。
そして、(2)はa(-3)+b(-1)=0までは理解できました。
…でも、その続きが良く分からないです…。
(3)はa:b=2:1までは分かったんですけど、そこからどうして次の段階に行くのかがイマイチ良く分かりません…。

回答No.1

Tacosan

どこがわからないのかわからないしどこまでの道具を使っていいのかもわからないのでアドバイスだけ:
いずれも「通る点」はわかっているので, あとは「求めたい平面の法線ベクトル」を求める問題に帰着されます. そこで
(1): 与えられた平面と平行であることから, 法線ベクトルが求まりますね.
(2), (3): 本質的に同じなのでまとめます. まず, 求める平面に平行なベクトルが既に 1本与えられています. そして, 平面上の 2点が与えられているので, 求める平面に平行なベクトルがもう 1本求まります. 求める平面の法線ベクトルはこの 2ベクトルのいずれとも垂直でなければなりません. このことから法線ベクトルを求めれば (1) に帰着されます.

補足

回答ありがとうございます。
…でも、あたし文章で数学が理解できないので申し訳ないんですけどあまり良く分かりません…。
(1)は平行なのに法線ベクトルを使うんですか??平行なときは直線ベクトルで、法泉ベクトルは垂直のときって覚えてたんですけど…。

もし時間があれば1問でも良いので解いてもらってもいいですか??