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指数関数
ka1234の回答
- ka1234
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こんにちは。 指数関数の底が負であるとします。例えば、y=(-1)^xを考えます。 [定義域が実数の時、実数値関数になるか?] 変数 x が実数を動く時、y も実数になれば良いのですが、なりません。 例えば、(-1)^(1/2)=i これは実数ではないので駄目ですね。 [定義域が実数の時、複素数値関数になるか?] xが整数の場合は良さそうです。 例えば、(-1)^2=(-1)(-1)=1, (-1)^0=1, (-1)^(-2)=1/(-1)(-1)=1 しかしxが有理数の場合は、駄目そうです。例えば、 (-1)^(1/3)=cos(2n+1)π/3 +isin(2n+1)π/3(n=0, 1, 2)[1] となります。答えが3個あります。答えが1つに定まりません。 これで「1価関数」ではなくなってしまいました。 では「多価関数」でしょうか? 1/3=2/6ですから、 (-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)=1^(1/6) =cos(nπ/3)+isin(nπ/3)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)[2] [1]では答えが3個、[2]では答えが6個になります。 答えが1種類に定まりません。([2]の答えは[1]の答えを含んでいる) 同じ値を代入しても、どの数列を使うかによって関数の値が異なるので、 多価関数にもなりません。ちなみに、w=z^(1/n)であれば、「べき根関数」という多価関数です。 従って [x∈Rの時、y=(-1)^xはxの関数とはならない]と思います、 ここで、関数というのは連続性や微分可能性などは考えておらず、 一般の「f:x→y」だけを考えています。従って、 グラフは描けない と思います。
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