重積分の問題

質問

(１)∫∫∫_v　ｄｘｄｙｄｚ　（V＝｛（ｘ，y，z）｜　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦１｝）

(２)sin(x+y+z)の三重積分で領域Vは、V={(x，y，z)｜０≦x，y，z≦π}

(３)平面ｚ＝０上に面積確定の有開閉領域Dがあり、その面積をSとする。点Q＝（ａ，ｂ，ｈ）（ｈ＞０）をとり、ＰをＤの点として動かすとき、線分ＱＰ上の点全体の集合を、Ｄを底面、Ｑを頂点とする錐体と呼ぶ。この錐体の体積はＳｈ／３であることを示せ。

上の三問なんですが、(１）は、ｘを固定して、領域Ｄとして、Ｄ＝｛（ｙ、ｚ）｜y^2/b^2+z^2/c^2≦１－x^2/a^2｝として解こうとするのですがこれからどうすればわかりません。
(２)は答えは８なのですが、自分は－８になります。
(３)はさっぱりわかりません。

どうかよろしくお願いします。

回答No.3

kony0

楕円形 x^2/○^2 + y^2/△^2 = 1 の面積は π○△ は公式でもいいような。
もちろんこれは1次変換や変数変換から導けます。
（半径１の円を横に○倍、縦に△倍しているので、面積もπの○×△倍、というのでは乱暴ですか？）

(3)については、「Qを相似の中心とする相似の位置にある」で大丈夫かと思います。（相似の位置こそが「相似」の定義だったと思うので、これについて議論をどうのこうのいう必要はなく、これでじゅうぶん厳密な議論だと考えます）
相似比が、底面：断面＝h:(h-u)なのは大丈夫ですよね?!
ということで、断面の面積は S*((h-u)/h)^2

ちなみに(2)は私も－8になってしまいました・・・
∫∫∫sin(x+y+z)dxdydz=∫∫[-cos(x+y+z)](x=0,π)dydz
=∫∫cos(y+z)-cos(π+y+z)dydz=∫∫2cos(y+z)dydz
=2∫[sin(y+z)](y=0,π)dz=2∫sin(π+z)-sin(z)dz
=2∫(-2)sin(z)dz=4[cos(z)](z=0,π)=-8

感覚的には、x+y+zが[π,2π]の範囲にあるのが全体の2/3の区間になると思いますので、なんとなく負っぽい気はしなくはないんですけどね・・・

補足

返事が遅くなりましてどうもすみません。大変丁寧な解説ありがとうございます！
ところで、
＞感覚的には、x+y+zが[π,2π]の範囲にあるのが全体の2/3の区間になると思います＞ので、なんとなく負っぽい気はしなくはないんですけどね・・・
の部分の意味がわからないんですが。よかったら追加で解説していただければ幸いです。