次元に関する質問です

質問

仮定の話で、仮に現在の次元（n次元とします）にそれより更に高い次元（n＋とでもしておきますね）が無理矢理介入した場合（仮定の話にしても突飛過ぎますが）、n次元でn＋が存在することは可能なのでしょうか？
簡単に言ってしまえば仮に三次元人の我々（或いは四次元人）が、二次元の世界に入れたとして、その二次元の世界、及びそこに無理矢理介入した三次元人、介入された二次元人にどうのような影響があるのか予測されることを教えて頂きたいんですけど
無理矢理な上に説明下手でスイマセン・・・

回答No.8

DSPlabo001

No7の「この回答へのお礼」を見て、質問者の真意がわかりました。
おそらくあなたは、

＞二次元世界に三次元の力を加えると、二次元世界に存在するタテとヨコ以外のオクユキの力というのは一体どこへ行ってしまうのでしょうか。

ということを問題の真意としているのではないでしょうか？
それについての解答は、「オクユキの力は無視される」となります。
オクユキの力がどのようなものであろうとも、二次元平面上では作用しません（摩擦は無視しているということです）。
ちなみに「無視される」というのは、「ゼロになる」という意味ではないので注意を。なぜならばゼロを代入するスペースすらないからです。

＞上から大きな力で押しつけるとパズルを動かすことが出来ないというのは恐らく関係ありませんよね）

この文章は「垂直な力は影響を及ぼさないですよね」という意味ならば正しいです。「垂直な力が影響を及ぼさないというのは、今は意味のない話ですよね」の意味ならば、間違っています。「垂直な力が影響を与えない」という事自体に意義があります。

お礼

連日ありがとうございます。

＞ちなみに「無視される」というのは、「ゼロになる」という意味ではないので注意を。なぜならばゼロを代入するスペースすらないからです。

足りない頭で考えてみたのですが、
三次元→二次元に力をかけた場合に、『オクユキ』の力は二次元の世界へと干渉することは出来ない。しかし『オクユキ』の力自体は二次元世界に存在する（ゼロになるという意味では～というのは多分理解できました）
ということなのでしょうか？

もう一つ

＞垂直な力が影響を及ぼさないというのは、今は意味のない話ですよね

この文の『今は』というのがどうも引っかかるんです。
これが
「垂直な力が影響を及ぼさないというのは意味のない話」
であればなんとなーく分かるんですけど・・・
後々何かしらの影響を与える、もしくは常に影響を与えている、のどちらかで解釈すればよろしいのでしょうか？

連日時間を割いて頂き申し訳ありません。
本当に暇な時にでもいいのでよろしくお願い致します。

回答No.7

DSPlabo001

たびたびすみません。
cos90° = 0
cos60° = 1/2
cos30° ≒ 1.732/2
cos0° = 1
でした。
なぜかsinを答えてしまいました(^_^;
このような関数を三角関数というのですが、高校１年生レベルの話なのでググれば簡単な説明がみつかると思います。

お礼

下の回答とまとめてお礼を。
Fcosはなんとか見つけられました。どうもです。
例に挙げられていた４×４のパスルなんですが、昔所持していたので
なんとなーくイメージとして分かりました。
そうすると三次元の要素であるタテ、ヨコ、オクユキの内、パズルを動かすのに必要な要素はタテとヨコ？になるということでいいのでしょうか。（上から大きな力で押しつけるとパズルを動かすことが出来ないというのは恐らく関係ありませんよね）
そうすると二次元世界に三次元の力を加えると、二次元世界に存在するタテとヨコ以外のオクユキの力というのは一体どこへ行ってしまうのでしょうか。

回答No.6

DSPlabo001

Fは力のことを意味します。英単語Forceの頭文字です。
本当はスカラーなので絶対値を取るべきですが、今は気にしなくてもいいです。
で、cosはコサインのことです。直角三角形の斜辺と、θの頂点の対辺との割合を意味します。ちなみに、
cos90° = 0
cos60° ≒ 1.732/2
cos30° = 1/2
cos0° = 1
です。

机の上の紙はたとえが悪かったようなので、4×4パズルで例えるのはどうでしょうか？
昔のオモチャなのですが、1から15までの数字のパネルがあり、それを並べてゆくというパズルです。このパズルは上下左右の２次元にのみ意味を持ちます。
ここで、パネルに対して垂直に力を加えると、パネルは動きませんね。

回答No.5

DSPlabo001

今のところ数学的な話ばかりだったので、すこし物理的に、直感的にあなたの質問を検証したいと思います。
３次元の住人が２次元の住人に力を加えるとします。
その力の方向が２次元の世界の直交基底に対していずれも垂直である場合（θ=90°）、なにも作用を及ぼさない感じがしますね。
つまり、テレビの画面に垂直に力を加えるということです。別の表現をすると、テーブルの上に置かれた紙に垂直に力を加えることと同じ意味です。
ここで、垂直からすこしずれた角度で力を加えると（θ≠90°）、たとえばテーブルに置かれた紙の場合はズルズルと動き出します（摩擦は無視）。力が２次元の世界の直交基底に変換され、Fcosθの力になるということです。

P.S
以前の回答で(1.23,4.56) ⇔ (14.2536)というのがあったのですが、右側が(111.111)である場合は一意にもとの元が求まらないような気がするのですが・・・。一対一写像なのですか？

お礼

回答ありがとう御座います。
『Fcos』と『直行基底』いうのが何のことか調べてみます。他は多分理解できたと思います。
とても分かりやすい説明です。ただこの場合に

＞垂直からすこしずれた角度で力を加えると（θ≠90°）、たとえばテーブルに置かれた紙の場合はズルズルと動き出します（摩擦は無視）。力が２次元の世界の直交基底に変換され、Fcosθの力になるということです。

この紙がズルズルと動き出すというのが結局どのような影響を平面（二次元）に与えるのでしょうか？
『Fcos』という単語が関係していると思いますので、勿論上記の通りこちらでも調べてみますが、如何せん数学の知識は無いに等しいので専門用語で解説されているとちんぷんかんぷんになるかもしれません。
簡易的な説明か、参考HPがあれば教えて頂ければ幸いです。

回答No.4

koko_u_

>自分でも「Ｒ」やら「Ｒ＾～」というのを調べてみたのですが
>イマイチ理解が出来ないのです。
ムオッ。

ごめん。R ってのは実数直線のことです。R^2 (二乗) が平面で R^3 (三乗) が空間ね。

平面上の点は (x, y) と座標で表わせるけど、これと前回書いたような「数字を交互に並べた実数」を対応させることで、点の集合という意味では R と R^2 は 1対1 に対応付けられます。

同じく R^2 と R^3 も 1対1 に対応付けられます。

この「1対1 に対応づけられる」ということを数学的に「集合の濃度が等しい」と呼んでいます。要素の数は無限だけど、その度合いは同じという意味です。(ちょうど霧の濃度が同じというような感覚で)

どんどん話がアサッテの方向に進んでるな。これは連続写像の説明までしようとしたら、どうなるんだ！？

お礼

忙しかったものでお礼が遅くなってしまい誠に申し訳ないです。
完全に飲み込めたわけではありませんが大筋は分かった（ような）
気がします。
よく「今より高次元の世界へ行くには～」
って話が出てるんですがその逆はどうなんだろうって思ってしまった
のでこのような質問をしています。
↑の連続写像っていうのも調べてみますね。
ありがとうございます。

回答No.3

koko_u_

>・・・濃度というのが何を指しているかも分からない素人ですが
>もし何か教えて頂ける様なことがあれば幸いです。
濃度というのは、集合の「要素の数」のことです。
3次元空間には無限個の点がありますが、1対1写像 f : R^3 -> R^2 が存在することが知られています。

R^2 -> R の対応を、おおまかに言うと (3.45, 1.76) -> 31.4756 と小数展開を交互に並べたような対応を考えることで実現します。

単純な対応では、上記のような「バラバラな」埋め込みしかできないので、「連続な」埋め込みがあるのかを考えたい。という意味です。

お礼

回答していただきありがとうございます。
御礼が遅くなってしまって申し訳ありません。
自分でも「Ｒ」やら「Ｒ＾～」というのを調べてみたのですがイマイチ理解が出来ないのです。
簡単にでいいので教えていただけないでしょうか

回答No.2

koko_u_

>三次元人の我々（或いは四次元人）が、二次元の世界に入れたとして
定式化すると単射となる写像

f : [三次元人] -> R^2

を考えるわけですね。

3次元空間と 2次元空間の集合としての濃度は同じなので、単射 f が存在することは明らかです。

しかし、それではあまりに「バラバラ」に砕け散っているので、f に連続という仮定と付けるとどうでしょう。伸縮することは許すとしてうまく 2次元の世界に入ることができるでしょうか？

。。。わかりませんでした。。。

補足

ありがとうございます。
こういう話に疎いどころかズブの素人なので難しい事は分からないのですけど、
＞3次元空間と 2次元空間の集合としての濃度は同じなので、
この部分なのですが、この場合縦と横は両方の空間に共通する事柄ですが、奥行きというのは３次元にしか無いですよね
集合としての濃度というのが空間を構成要素？に関することであれば片方には奥行きがあり片方には無いということで濃度というのは違くなるのではないでしょうか？
・・・濃度というのが何を指しているかも分からない素人ですがもし何か教えて頂ける様なことがあれば幸いです。

回答No.1

noname#94364

二次元に入っていった三次元人はスライスされたように見えるんじゃないでしょうか？
動く度にその断面が変わるとか。
リサ・ランドールの著書「ワープする宇宙～５次元時空の謎を解く」のイントロが高位次元の説明で例えとしてその類のことが書いてました。
人間のいる次元より高次元の話になると人間が知覚しえない次元なので、表現は不可能のように思います。

補足

ありがとうございます。その本を探してみますね。
例えば平面から立体になるには奥行きを足して元々無い物を付加する訳ですよね？
逆に立体を平面にする場合はこれと逆のことをすればいいと思うんですけど、元々あった（もしくは無かった）物を±した場合に果たして互換は可能なのかなと。
イメージとしては風船に空気を入れ続けて入る量を仮に２次元、割れてしまうまで（風船に入る空気の量を超える）を３次元とすると、その器より大きい物を入れると壊れてしまうのかな、と思ったのです。（質量や体積の問題ではないのでしょうけど）
この揶揄が正しいかどうかすら分からない無知な者ですが、もしこうなるのではないか、等ということがあれば教えて頂きたいです。