数学の質問です。

質問

数学の質問です。
平面上にn個の円があり、それらのどの2つも交わり、また、どの3つも一点で交わりません。これらのn個の円が平面をa[n]（←下にくっついている小さいn）個の部分に分ける
とするとき、a[n]をnの式で表してください。

という問題ですが、友達が以下のような回答を言ってきました
「n=1～４の時の実際のanを図を書いて求め、それから一般式a[n]＝n^2-n+2を予想し、帰納法でその式があっているかを証明する。n=1の時は明らか。n=kを仮定してn=k+1でも成り立つことを証明する。
a[k+1]=a[k]+2k=(k^2-k+2)+2k=(k+1)^2-(k+1)+2よってn＝k+1の時も成り立つ。よって帰納法よりa[n]＝n^2-n+2」

私はこの回答は間違っていると思います。

なぜなら数列のはじめの四項から予測するのは間違いだと思うのです。予測した規則性がこれ以降もその規則性で続く確証はないのですから。

この問題はきちんと円がn個のときとn+1個の時との関係を漸化式で表す必要があると思うのです。

また、友人の予測した一般式の帰納法による証明ですが、そこも間違っていると思います。
kを仮定したあとk+1の場合を示すときに、kがk+1からどんな作用を受けたかを回答するべきなのに、ただの数式いじりに終始していると思います。円と全く関係なく式変形しているので、誤りだと思います。

以上が私の友人の回答に対する反論なのですが、私の反論もどうも感覚的でしっくりきません。

友人の回答に対しての誤りを具体的かつ論理的に指摘していただきたく、今回質問しました。

よろしくお願いします。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞「2k個付け足していることの説明」ですが、円がnこの時から一個付け加えるときに、
＞新しくたされた円といままであったnこの円との交点は２n個であり、
＞そしてその弧の数だけ空間ができるから
＞というので良いですか？

そうですね。それでいいと思います。
帰納法で「n＝ kのとき」を仮定して、「n＝ k+1のとき」を示すのであれば、
上の内容は「k」で記述することになりますね。

＞友人の場合では、予測したn^2-n+2が、具体的に一項から四項まで調べて、
＞「階差数列だ！」と思い、a[k+1]=a[k]+2kと考えたそうですが、
＞これはダメで、これではただの数式を見て判断しただけの2kにすぎないと反論すればよろしいですか？

そうです、ここが一番の問題ですね。
この論理では「n^2- n+ 2」という結果ありきの内容になってしまいます。

ただ上の考え方を示した上で階差数列として求めることはできますね。
a[n]＝ 2+ Σ[k=1～n-1] (2k)という式が立てられます。

お礼

ありがとうございます！！！たすかりました！

回答No.3

alice_44

ああ、被った。失礼。
A No.2 は、気にしないでください。

回答No.2

alice_44

数列のはじめの四項から予測するのは、
問題ない。

予測は、予測に過ぎないから、何項から推測しても、
今日の気分で推測しても、全く構わない。
…予測が当たっていさえすればね。
当たっているかどうかを検証するのは、後の証明部分だ。

円がn個のときとn+1個の時との関係を漸化式で表す必要がある
というのは、正解。

お友達の答案は、質問文に書かれたものが全てだとすれば、
もっとも重要な「a[k+1]=a[k]+2k が成り立つ理由」が
示されていない。そこを書かなければ、答案にならない。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
きっちりと指摘すべきポイントは押さえていると思いますよ。
ただし・・・

＞なぜなら数列のはじめの四項から予測するのは間違いだと思うのです。
＞予測した規則性がこれ以降もその規則性で続く確証はないのですから。

逆にその規則性で続く確証（保証）ができれば、はじめの4項どころか3項でも構いませんよ。
あくまでも「推測」なのですから。

＞この問題はきちんと円がn個のときとn+1個の時との関係を漸化式で表す必要があると思うのです。

＞また、友人の予測した一般式の帰納法による証明ですが、そこも間違っていると思います。
＞kを仮定したあとk+1の場合を示すときに、kがk+1からどんな作用を受けたかを回答するべきなのに、
＞ただの数式いじりに終始していると思います。円と全く関係なく式変形しているので、誤りだと思います。

ここはひっくるめて。
「円が n個から n+1個になるときの様子」と「円が k個から k+1個になるときの様子」は同じ内容です。
単に、nで表しているか、kで表しているかの違いだけです。

そして、一番の問題は「2k個付け足している」ことの説明がどこにもないことです。
これは指摘されているとおり、唐突に 2kを付け加えて数式いじりになっています。
ここがきちんと説明できれば、推測が正しいことも保証されることになります。

質問者さんは、この「2k個付け足している」ことの説明はできますか？

補足

「2k個付け足していることの説明」ですが、円がnこの時から一個付け加えるときに、新しくたされた円といままであったnこの円との交点は２n個であり、そしてその弧の数だけ空間ができるから

というので良いですか？

友人の場合では、予測したn^2-n+2が、具体的に一項から四項まで調べて、「階差数列だ！」と思い、a[k+1]=a[k]+2kと考えたそうですが、これはダメで、これではただの数式を見て判断しただけの2kにすぎないと反論すればよろしいですか？