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微分の問題?についての質問

α0x^n+α1x^(n-1)+・・・+αn-1x+αn=0   α0≠0 は、nが奇数ならば少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。 ↑の問題はnに適当な数をいくつか代入して示す、という形でいいのでしょうか?(自分でもよくわかっていません。) ちなみにαの横の0やnはαの番号です。 説明が下手でごめんなさい。皆さんの考えを聞かせてください。 よろしくお願いします。

noname#32311
noname#32311

質問者が選んだベストアンサー

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  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.3

No1 α0>0のときでした。 α0<0のときは∞の符号が逆になり、同様に中間値の定理による。

noname#32311
質問者

お礼

二度も回答していただきありがとうございます。 早速やってみます。

その他の回答 (5)

  • oyamala
  • ベストアンサー率40% (8/20)
回答No.6

かなり自信がないですが・・・参考までに。 実係数の方程式は、共役な複素数も解に持つという性質があります。 証明はどこかに載っていると思うので参考にしてください。 それを利用すると、αi(i=0,1,・・・)が実数のとき、与えられた方程式が虚数解しかもたないと仮定した場合、必ず共役な複素数とペアですから、偶数個の解をもつことになりますね。 しかしnが奇数ですから、解の個数は奇数となり、矛盾します。 つまり与えられた方程式が虚数解を持たないとした仮定が誤りなわけですから、少なくとも1つ実数解をもつことになります。

  • ringouri
  • ベストアンサー率37% (76/201)
回答No.5

「nに適当な数をいくつか代入して示す」のでは解答になりません。 nはあくまでも任意の奇数なのですから。 α*は実数として考えると、左辺の式をα0で割った式をf(x)とおいて、 xを実数の範囲で動かしてみます。 x→+∞のとき f(x)→+∞、x→- ∞のとき f(x)→- ∞ [nが奇数のとき] となるので、中間値の定理により、f(x)=0となるxが少なくとも1つあることになります。 したがって、与えられた方程式は、nが奇数のとき少なくとも1つの実数解を持ちます。 nが偶数の場合は、x→- ∞のとき f(x)→- ∞ が成り立たないので、 nが奇数という条件が必要となります。 ...こんな感じでどうでしょうか? 中間値の定理を使わないとすると、話がややこしくなりそうですが...

noname#32311
質問者

お礼

夜遅くわざわざありがとうございます。 助かりました。

noname#47975
noname#47975
回答No.4

α0≠0なので、 α0x^n+α1x^(n-1)+・・・+αn-1x+αn=0 の両辺をα0で割って x^n + α1/α0x^(n-1) + .... + αn/α0 = 0と して考えるべきかと思います。 そうすれば、α0が正・負について考慮する必要がなくなりますので..。 後は、#1さんが提唱しているやり方で証明すればOKかと思います。

  • dephands
  • ベストアンサー率53% (15/28)
回答No.2

a_i (i=0,1,2, ,,,n)が実数という条件があるならば、代数学の基本定理を使えば出てきますよ。

  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.1

奇数次ならばx→-∞のとき-∞に発散し、x→∞のとき∞に発散する。 よって、f(a)<0、f(b)>0となるa,b(a<b)が必ずある。 連続関数なので、中間値の定理によりaとbの間で必ずf(c)=0となるcが ある。

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