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sech関数のフーリエ変換
aquarius_hiroの回答
sparklightさん、こんにちは。 F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} dx exp[iωx] sech(ax) と定義すると、 sech(ax) = 1/cosh(ax) = 2/(exp[ax] + exp[-ax]) より、z=axとおいて、 F(ω) = (2/a) ∫_{-∞}^{∞} dz exp[i(ω/a)z] /(exp[z] + exp[-z]) … (1) ωを-ωに置換えても、積分変数zを-zに置き換えれば等しくなるので、これは偶関数です。 従って、ω/a > 0 と仮定して求めれば十分です。 （ω/a < 0 のケースは同じになります。） (1)を複素平面上の積分とみます。 ω/a > 0 と、exp[i(ω/a)z] の因子により、上半無限円上の同じ関数の積分は、0になります。 （簡単に言うと、z=x+iy とおくとき、上半無限円では、y→+∞としてよく、 指数関数 exp[i(ω/a)z] の肩は、i(ω/a)(x+iy) = i(ω/a) x - (ω/a)y となり、その実部が -(ω/a)y → -∞になるからです。） 従って、(1)は、 F(ω) = (2/a) ∫_C dz exp[i(ω/a)z] /(exp[z] + exp[-z]) … (2) という複素積分になります。ここで、Cは実軸に上半無限円を加えた閉曲線です。 1/(exp[z] + exp[-z]) = exp[z]/(exp[2z] + 1) は、この閉曲線の内部に1次の極を持ちます。すなわち、 exp[z] = - exp[-z] exp[2z] = -1 2z = (2n+1)iπ z = (2n+1)iπ/2 = inπ + iπ/2 ≡ z_n とおく が極です。n=0,1,2,… で、積分経路Cの内側には無限個の極があります。 この極以外では正則なので、経路を縮小すると、 F(ω) = (2/a) Σ_{n=0}^{∞} ∫_{C_n} dz exp[i(ω/a)z] /(exp[z] + exp[-z]) ここで、C_n は、z=z_n を囲む微小な閉曲線です。z=z_n の近傍では 1/(exp[z] + exp[-z]) = exp[z]/[exp(2z) + 1] = exp[z]/[exp(2(z-z_n)+z_n) + 1] = exp[z]/[exp(z_n) exp(2(z-z_n)) + 1] = exp[z_n]/[- {1 + 2(z-z_n)} + 1] = - i (-1)^n/2 × 1/(z-z_n) と展開できるので、これに留数定理を使うと、 F(ω) = (2/a) Σ_{n=0}^{∞} (-i) (-1)^n exp[i(ω/a)z_n]/2 × 2πi = (2π/a) Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n exp[-(ω/a)(2n+1)π/2] = (2π/a) exp[-(ω/a)π/2]/[1 + exp[-(ω/a)π]] = (2π/a) 1/[exp[(ω/a)π/2] + exp[-(ω/a)π/2]] = (π/a) sech[πω/2a] と求まります。ω/a < 0 のほうも同じになることは上で述べたとおりです。
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