合成標準偏差の計算式

質問

aとbの合成標準偏差をしたいときに以下の説明がされたのですが計算方法がわかりません。

aの標準偏差をσa、bの標準偏差をσbとして、aの比率をA、
bの比率をB（要するにA:Bの比率で組み合わせ）として合成すると
合成標準偏差は、以下の計算と言われました。

合成標準偏差＝σa^2A^2+σb^2B^2+2×相関係数×σaσb×A×B

a標準偏差9.5% b標準偏差4.5％　aとbの相関係数は0.31とした場合どうなりますか？
上記の計算式がわからりませんのでできれば結果のほかに計算式わかりやすく説明してください。

回答No.5

kumipapa

＞　2×0.51×0.25× 0.31×9.5×5.5+ ・・・・であってますよね？
あってます。

回答No.4

kumipapa

> aの比率51％bの比率25％c9％の比率d8％の比率eの比率7％とした時
> σ^2 = (0.51)^2 σa^2 + (0.25)^2σb^2 + (0.09)^2σc^2 + (0.08)^2σ> d^2 + (0.07)^2σe^2 になると思います。
> 次の式の部分の比率のところの数値がわかりません。

2×0.51×0.25× rab σaσb + 2×0.51×0.09× rac σaσc + 2×0.51×0.08× rad σaσd + 2×0.51×0.07× rae σaσe + 2×0.25×0.09× rbc σbσc + 2×0.25×0.08× rbd σbσd + 2×0.25×0.07× rbe σbσe + 2×0.09×0.08× rcd σcσd + 2×0.09×0.07× rce σcσe + 2×0.08×0.07× rde σdσe

です。
rabσaσbの項にはaとbの比をかけ、・・・・となります。

お礼

お礼のお返事が遅くなりまして申し訳ありません。
この度はご丁寧に教えて下さって有難うございました。
もっともなぜこういう式になるのかといのは理解できておりませんが（苦笑）

念の為に確認致しますが
a標準偏差9.5b標準偏差5.5として相関が0.31とした場合
2×0.51×0.25× rab σaσb +は以下の数値を入力しました。
2×0.51×0.25× 0.31×9.5×5.5+ ・・・・であってますよね？
違ってたら恐れ入ります訂正お願い致します。

回答No.3

kumipapa

＞　a標準偏差9.5%　b標準偏差4.5％　c標準偏差6％ d標準偏差4.5％ e標準偏差4.5％があったとして合成偏差を出すにはどうすればいいのでしょうか？
＞　各々の比率は0.25ずつです。相関は aに対してbは 0.31、aに対してcは0.4815　aに対してdは0.4844です。

えっと・・・
各々の比率が0.25ですか？５変数ですので、0.2かなと思いますけど。

各々の比率が0.2の場合に合成した分散は、
σ^2 = (0.2)^2 σa^2 + (0.2)^2σb^2 + (0.2)^2σc^2 + (0.2)^2σd^2 + (0.2)^2σe^2 + 2(0.2)^2 rab σaσb + 2(0.2)^2 rac σaσc + 2(0.2)^2 rad σaσd + 2(0.2)^2 rae σaσe + 2(0.2)^2 rbc σbσc + 2(0.2)^2 rbd σbσd + 2(0.2)^2 rbe σbσe + 2(0.2)^2 rcd σcσd + 2(0.2)^2 rce σcσe + 2(0.2)^2 rde σdσe
各々の比率が0.25の場合は、0.2の代わりに0.25としてください。
この式に、σa ＝9.5、σb＝4.5、σc＝6、σd＝4.5、σe＝4.5と、rab＝0.31、rac＝0.4815、rad＝0.4844を代入します。質問には、aとeの相関、bとc,d,eの相関、cとd,eの相関、dとeの相関の記述がありませんので、rae,rbc,rbd,rbe,rcd,rce,rdeの値が分かりません。これらが無相関であればrae,rbc,rbd,rbe,rcd,rce,rdeはすべてゼロとして計算します。

お礼

kumipapaさん
ご丁寧に教えて頂き有難うございました。
お陰様で計算することができ、感謝しております。
最後に比率の入力だけ教えた下さい。
aの比率51％bの比率25％c9％の比率d8％の比率eの比率7％とした時

σ^2 = (0.51)^2 σa^2 + (0.25)^2σb^2 + (0.09)^2σc^2 + (0.08)^2σd^2 + (0.07)^2σe^2 になると思います。

次の式の部分の比率のところの数値がわかりません。
2(0.2)^2 rab σaσb + 2(0.2)^2 rac σaσc + 2(0.2)^2 rad σaσd + 2(0.2)^2 rae σaσe + 2(0.2)^2 rbc σbσc + 2(0.2)^2 rbd σbσd + 2(0.2)^2 rbe σbσe + 2(0.2)^2 rcd σcσd + 2(0.2)^2 rce σcσe + 2(0.2)^2 rde σdσe

例えば最初の2(0.2)^2 rab σaσbのところ、これはaとbに対しての計算なのかな？と推測できますがその場合の比率の部分の数字(0.2)はどうすればいいのでしょうか？

お手数ですがよろしくお願い致します。
何度もご親切にご回答下さり有難うございます。

回答No.2

kumipapa

標準偏差とか分散ていうのは、普通％は付けないと思いますよ。その点は、もう一度確認してみてください。

＞　応用で複数の合成標準偏差を求めるにはどうすればいいのか
n変数について考える前に、２個の確率変数の和 Ｚ＝aＸ+bＹの場合についておさらい。
平均をE[Z]と表すことにすると、Zの分散はE[(Z-E[Z])^2]で与えられます。X,Yの分散をσx,σy、相関係数をrxyとしてこれを展開すると、
σz^2 ＝ E[(Z-E[Z])^2]
＝ E[(aX+bY-E(aX+bY))^2]
＝ E[(aX-aE[X]+bY-bE[Y])^2]　　（∵ E[aX+bY]=E[aX]+E[bY]=aE[X]+bE[Y])
＝ E[a^2(X-E[X])^2 + b^2(Y-E[Y])^2 + 2ab(X-E[X])(Y-E[Y]) ]
＝ a^2 σx^2 + b^2 σy^2 + 2ab Cov(X,Y)
＝ a^2 σx^2 + b^2 σy^2 + 2ab rxy σx σy　（∵ rxy ＝ Cov(X,Y)/σx σy）
です。式の途中に出てくるCov(X,Y)（＝E[(X-E[X])(Y-E[Y])]）はXとYの共分散、ｒxyはXとYの相関係数です。これが質問者が示された２つの確率変数の和の分散の式です。
確率変数がもっと増えても全く同じように求める事ができます。
n個の確率変数X1,X2,X3・・・,Xnをa1,a2,a3,・・・,anの係数をかけて加算した確率変数をＺとすれば、その分散は、
σz^2 ＝E[(Z-E[Z])^2]
＝E[(a1X1+a2X2+a3X3+・・・+anXn - E[a1X1+a2X2+a3X3+・・・+anXn])^2]
＝E[((a1X1-a1E[X1])+(a2X2-a2E[X2])+・・・+(anXn-anE[Xn]))^2]
＝Σ(i=1,n) ai^2E[(Xi-E[Xi])^2)+ΣΣ(i=1,n,j=1,n,i≠j)aiajE[(Xi-E[Xi])(Xj-E[Xj])
＝Σ(i=1,n) ai^2σi^2＋2ΣΣ(i=1,n, j=i+1,n)Cov(Xi,Xj)
＝Σ(i=1,n) ai^2σi^2＋2ΣΣ(i=1,n, j=i+1,n)rij σiσj
です。
例として、Z = aX1+bX2+cX3とすると、
σz^2＝ a^2σ1^2 + b^2σ2^2 + c^2σ3^2 + 2ab r12 σ1σ2 + 2bc r23 σ2σ3 + 2ca r31 σ3σ1
結局、
＞（Aσa+Bσb+・・・+Dσd）＾２ を展開してできる式で、２ACσaσcのようなところに ａとｃの相関係数を乗算している
ということになります。

お礼

ご丁寧に回答下さり有難うございます。
しかし数式が私には難解なもので理解できません。
できましたら以下例に出しました数値をkumipapa様が提示して頂いた数式に当てはめて書き記してもらえないでしょうか？
正直ちんぷんかんぷんです（（苦笑））
a標準偏差9.5%　b標準偏差4.5％　c標準偏差6％ d標準偏差4.5％ e標準偏差4.5％があったとして合成偏差を出すにはどうすればいいのでしょうか？
各々の比率は0.25ずつです。相関は aに対してbは 0.31、aに対してcは0.4815　aに対してdは0.4844です。

お手数お掛けいたしますがよろしくお願い申し上げます。

回答No.1

kumipapa

まず、合成標準偏差とのことですが、示された式は標準偏差ではなく分散です。
分散＝σa^2A^2+σb^2B^2+2×相関係数×σaσb×A×B
標準偏差＝√（分散）
です。
この点をまず確認してください。

次に、
＞　a標準偏差9.5% b標準偏差4.5％
というのが残念ながら意味不明です。
そもそも標準偏差は％で表される数値ではありません。
それとも、Ａ＝０．０９５、Ｂ＝０．０４５のときにどうなるか？ということでしょうか。じゃあ、残りの８６％は何なんだというのも気になりますし、実際の計算にはσaとσbの値も必要です。まあ、それらが分かれば、式に入れて計算するだけですが。

とかにかく、「a標準偏差9.5% b標準偏差4.5％」では、問題になっていませんので回答（計算）することができません。

問題をもう一度きちんと示してください。
また、分からない点がどこにあるのかもう少し明確にしてください。
それとも、標準偏差（分散）の式が分からないってことですか？

お礼

不備な質問に対してご返答有難うございました。

仰せのとおり標準偏差＝√（分散）から最後に√をつけないと標準偏差出ないですね。

上記の式は比率は50％と50％として
（0.5×9.5）^2＋（0.5×4.5）^2＋２×（0.5×9.5）（0.5×4.5）×（0.31）＝約３４．２５という計算ができました。
ご指摘の通り標準偏差＝√（分散）
ですので、√をつけると5.85% となりました。

応用で複数の合成標準偏差を求めるにはどうすればいいのかお判りでしたら教えて下さい。
a標準偏差9.5%　b標準偏差4.5％　c標準偏差6％ d標準偏差4.5％ e標準偏差4.5％があったとして合成偏差を出すにはどうすればいいのでしょうか？
各々の比率は0.25ずつです。相関は aに対してbは 0.31、aに対してcは0.4815　aに対してdは0.4844です。

３つ以上の統計分布を相関係数を考慮して取り扱う一般式はないので、
おそらくは、（Aσa+Bσb+・・・+Dσd）＾２ を展開してできる式で、２ACσaσcのようなところに ａとｃの相関係数を乗算しているということだそうです。こちらご理解できましたらわかりやすい数式教えてもらえるとうれしいです。