行列の対角化についての質問です

質問

行列問題の質問なのです。

|2 1 1|
A=|1 2 1|
|1 1 2|

この行列を対角化しろという問題です。この問題で固有ベクトルを求めるべく固有値を出すとλ＝１(重複解)、4
となり、自由度が２ということから

x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 = C1
x_3 = C2

ここから先がわかりません(x_x)
試験で出るみたいなので・・・どうかお願いしますm(__)m

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

syureidさん、こんにちは。

> x_1 + x_2 + x_3 = 0
> x_2 = C1
> x_3 = C2

までは良いですね。

ここでは列べクトルを書きにくいので、行ベクトルで書くことにするします。

x1=-x2-x3=-C1-C2 なので、λ=1に属する固有ベクトル x は

　ベクトルx = (x1, x2, x3) = (-C1-C2, C1, C2) …(1)

ということで、ANo.1のお礼に書こうとされたのは、

　ベクトルx = C1 (-1,1,0) + C2 (-1,0,1) …(2)

でしょうね。。。

このC1とC2がどんな値でも、このxは固有値λ=1に属する固有ベクトルになっています。(1)の形でも(2)の形でもどちらでもよいと思います。

ついでに規格直交化してみましょうかね…。

まず直交している二つを探します。直交したままいくらでも回転させることができ、無数にあるので、一つはC2=0ととり固定します。

すなわち、二つのベクトル、

　ベクトルv = a1 (-1,1,0)
　ベクトルu = b1 (-1,1,0) + b2 (-1,0,1)

が直交するように、a1,b1,b2を決めます。（なんとかの直交化法と同じことですね。）

直交条件は、内積 v・u = 0 とすればよいわけですが、

(-1,1,0)・(-1,1,0) = 2
(-1,0,1)・(-1,0,1) = 2
(-1,1,0)・(-1,0,1) = 1
…(3)

より、　v・u = 2a1b1 + a1b2 = 0 となり、b2 = -2b1 が得られます。従って、

　ベクトルv = a1 (-1,1,0)
　ベクトルu = b1 [ (-1,1,0) -2 (-1,0,1)] = b1 (1,1,-2)

が得られます。次に、これを規格化します。(3)より、

1 = |v|^2 = v・v = 2|a1|^2

故に、a1=1/√2 ととればvは規格化されています。（a1=-1/√2とか、複素数になるようなのでも良いですが、わかり易く正になるのをとります。）

uについても、

1 = |u|^2 = u・u = |b1|^2 (1,1,-2)・(1,1,-2)
　= |b1|^2 (1+1+4) = 6|b1|^2

より、b1=1/√6 と求まります。

従って、λ=1に属する規格直交化された二つの固有ベクトル

v = (-1,1,0)/√2
u = (1,1,-2)/√6

が得られます。

ちなみに、λ=4に属する固有ベクトルは、

w = (1,1,1)/√3

になります。

以上、書きにくいので行ベクトルで書きましたが、問題は列ベクトルで考えているようですので、ベクトルは横を縦に読み直してください。

お礼

ご返答ありがとうございます！
おかげさまで問題を解くことが出来ました！
本当に助かりました。ありがとうございますm(_ _)m

回答No.4

mtaka_2007

授業等で対角行列の求め方の説明があったと思います。それをまねればよいと思います。ANo.3さんは規格直交化まで求められていますが、そこまで求められているのでしょうか。簡単に考えれば次のとおりと思います。

固有値１の固有ベクトルの条件は、
x+y+z=0
ですので、これを満たす独立なベクトルとして(1,-1,0)と(0,-1,1)を選びます。
次に固有値4の固有ベクトルの条件は、
x=z,y=z
ですので、(x,y,z)=z(1,1,1)と表現できます。(1,1,1)は、前の２つのベクトルと独立であることは簡単にわかります。

従って、これらのベクトルを列ベクトルにしたものをPとすれば、Pの逆行列×A×Pを計算すれば、1と4を対角成分とした対角行列となります。

お礼

ご返答ありがとうございます＞＜
ANo.3さんのように規格直交まで求められていました・・・説明不足ですいません；；
おかげさまで回答の大きな流れが確認できました、ありがとうございますm(_ _)m

回答No.2

Tacosan

すみません, 意味がわかりません.
とにかく, 「x1 + x2 + x3 = 0」を満たすベクトルを 2本, なんとかして見付けてください. 正規化も直交化も, そのあとでなんとでもなります.

お礼

行列式がとても変になってますね；；
申し訳ないです・・・。
参考になりました、ありがとうございましたm(_ _ )m

回答No.1

Tacosan

対角化するってことは, 正規直交基底があった方が楽ですねぇ.
ということで, x1 + x2 + x3 = 0 を満たしかつ互いに直交する 2ベクトルを, なんとかして見付けてください.

お礼

ご返答ありがとうございます。
一応やってみたものをこちらに掲載いたします。

x2=C1 x3=C2
|-1| |-1|
x =| 1|C1 + | 0|C2
| 0| |-1|

この二つが直交するベクトル・・・ということでしょうか；；