二次関数の問題。

質問

ある問題集に、こんな問題がありました。
【x, y の間に （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１の関係があるとき、
３ｘ＋４ｙの最大値・最小値を求めよ。】
うまく解けなかったので、ヒントを見たところ、
____________________________
【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことと
【連立方程式 （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１　と　３ｘ＋４ｙ＝ｋ　とが実数解をもつ】こととが同値であることを利用する
____________________________
というようなことが書いてありました。
なんで、この２つのことが同値なんですか？
そのことと、問題の解き方とがどう結びつくのか分かりませんでした。
　数学はド素人で、ただ好きで問題集を覗いているだけなので、
基本的な質問ですみませんが、どなたか分かりやすく教えてください。

回答No.3

nanase_p_q

同値と書かれると分かりにくいですね。

まず【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことが前提となるのです。

ｋはもともとあった値ではなく、解くために仮に置いた変数です。

前提が正しいとすればそのようなｋも存在できるので、連立方程式に実数解が存在するというのも暗黙的に正しいと言えるのです。

これが同値であるという表現になっています。

つまり、前提である【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことが正しいならば、グラフにしたときに交わる部分が出てくるということです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
それぞれの専門用語（同値とか変数とか）は分かっても、
組み合わさると　？？？となって、理解に時間がかかる
典型的な文系の頭をしています。
でも、先にご回答くださった方々、
そして nanase_p_q さんのおかげで、
多角的な説明をいただけて納得できました。
ありがとうございました。