下4桁が２００７になる

質問

友人から出された問題なのですが手も足も出ません。
地道にn=1から試していくしかないのでしょうか。よろしくお願いします。

7^nの下4桁が２００７になるとき、自然数nはいくらか？

回答No.2

k_maisan · ベストアンサー

No.1さんのとおり、下１桁に目をつける方法を使います。

7^4 = 2401 ですので、求める数を x とおくと、
7^x = 7^(4n+1) = (7^4)^n * 7 = 2401^n * 7
と変形します。

さて、
(2401)^n の下４桁を考えます。

(2400＋1)^n とすると、２項定理より、
=(2400^n + … + (2400)n + 1 )

７倍して下４桁が2007になるには、下３桁目が0、下４桁目が6の
6001でないいけませんので、2400をｎ倍したとき下４桁が6000に
なる数を探せばよいです。そしてその数の最小値は15。

よって、2401^15 * 7
=7^(4*15) *7
=7^61

７を６１乗したとき下４桁が2007になります。
今回は最小の61だけを求めましたが、次の数も簡単にわかると思います。

お礼

回答ありがとうございます

詳しい解説で理解できました

ありがとうございました

回答No.3

Tacosan

#1 の続きになりますが, 7^4 = 2401 に気付けば, 2項定理を使ってわりと簡単に求められます.

お礼

回答ありがとうございました

＃２の方法がとても分りやすかったです。
このことですよね

ありがとうございました

回答No.1

quaRk-6

下一桁を考えると
7^1=7
7^2=49->9
で、7^3の一の位は
9×7=63なので3になりますね。
(掛け算の筆算を思い出してください)
以下同様に
7^4の一の位は3×7=21なので1
7^5の一の位は1×7=7なので7
となり、n=1,5,9,13…のときに一の位が7になりますので、
n=1,5,9,13…のときに絞り込めます。

お礼

回答ありがとうございます

おかげで探索数が減りました。

ありがとうございました