有限小数の各桁の平均値

質問

{a(n) | 1≦n≦Nにおいてa(n)は0～9の整数, 但しa(N)≠0, Nは2以上の自然数}
の条件下で
1/N × Σ[n=1→N]a(n) = Σ[n=1→N]a(n)/10^(n-1)
を満たすNと{a(n)}は、N=2の時のa(1)=4, a(2)=5以外にありますか？

つまり、整数部が一桁の有限小数
a(1).a(2)a(3)a(4)••••a(N) [N≧2, a(N)≠0]
が、各桁の数字の平均と等しくなるのは4.5以外にありますか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

1/N × Σ[n=1→N]a(n) = Σ[n=1→N]a(n)/10^(n-1)
を10^(N-1)倍して
10^(N-1)/N × Σ[n=1→N]a(n) = Σ[n=1→N]a(n)*10^(N-n)
で考える。右辺は整数だから，左辺がもし整数にならなければ等号が成り立つことはないのでそれを除外すれば，左辺の分母にNがあっても約分できて整数になるはずです。それでは左辺は10の何乗でくくりだせるかと言えば，
N=2のとき10^(N-1)/N=10/2=5
N=3のとき10^(N-1)/N=10^2/3
N=4のとき10^(N-1)/N=10^3/4=10*5^2
N=5のとき10^(N-1)/N=10^4/5=10^3*2
N=6のとき10^(N-1)/N=10^5/6=10^4*5/3
N=7のとき10^(N-1)/N=10^6/7
N=8のとき10^(N-1)/N=10^7/8=10^4*5^3
と順に考えていけば容易にわかることですが，左辺はN=2のときを除いて少なくとも10で割り切れます。これは右辺の最後の項以外は10で割り切れ，最後の項a(N)は10で割り切れないということと矛盾します。
したがって等号が成り立つ可能性があるのはN=2のときだけで，N=2のときは簡単な計算によってa(1)=4，a(2)=5であることが導けます。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
確かに！