AB=AC=AD=13, BC=BD=13, CD=10 である三角すいABCD の体積

質問

「AB=AC=AD=13, BC=BD=13, CD=10 である三角すいABCD の体積を求めなさい。」と言う問題の解説部分についての質問です。

---------＜解説（「・・・＃」は質問のために追加）＞---------
A から平面BCDに下ろした垂線の足をHとする。AB=AC=ADより, H は△BCDの外心となる。
△BCD は BC=BD の二等辺三角形だから, BH とCD の交点 M は CD の中点になる。
∴BM＝√(13^2-5^2)＝12＝AM
また△ABMで,M からABに下ろした垂線の足を N とすると, AN=BN=13/2
∴cos∠ABM = BN/BM = 13/24　（・・・＃）
sin∠ABM = √407 / 24
よってAH = 13sin∠ABM = 13√407 / 24
したがって三角すいABCDの体積は,(1/2)・10・12・(13√407 /24)・(1/3)＝65√407/6
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＃の部分でなぜcos∠ABM = BN/BMになるのですか。

回答No.1

ai_39 · ベストアンサー

三角形ＢＭＮが直角三角形になっているからです。
点Ｎは、点Ｍから辺ＡＢへの垂線の足でしたよね？
つまり、∠ＭＮＢ＝90°
ということになります。
cosはもともと、求めたい角を左下にしたときの直角三角形の『底辺/斜辺』なので、
　　　cos∠ＡＢＭ = ＢＮ/ＢＭ
となります。

お礼

回答ありがとうございます。
>点Ｎは、点Ｍから辺ＡＢへの垂線の足でしたよね？
そうですよね。混乱してしまっていて、すいません。

回答No.2

shenyi401

∠ＢＮＭ＝９０度である直角三角形ＢＮＭで考えているのではないですか。
だから，sin∠ABM＝√407/24も出てくるのだと思いますが。
∠ＭＢＮとした方がわかりやすいかも。

お礼

回答ありがとうございました。