四角形の対角線の交点の軌跡

質問

四角形ABCDがあります。
各辺AB,BC,CD,DAの長さは一定とします。
角度A,B,C,Dは変化できるとします。

点A,Bの位置は固定します。
たとえば、xy座標を用いて、原点に点Aを持ってきて、
x軸の正の部分に点Bを持ってきてもいいです。

点Cの位置を変化させると、それにつれて点Dの位置も変化します。

このとき、対角線ACとBDの交点はどういう軌跡を描くのでしょうか?

回答No.1

Knotopolog

回答がゼロなので，そんなに難しい問題なのかな？と不思議に思い，覗き見て考えてみました．
● 質問の答え：軌跡は4次曲線です．
以下は，その計算です．4角形の各辺の長さを
　　AB=a,　　BC=b,　　CD=c,　　DA=d
とします．点Bをx軸上に固定して，点Cを動かすということは，BC辺が一定なのですから点Bを中心として半径BCの円を描くことになります．この時，点Aが固定なので点Dの軌跡は，点Aを中心として半径ADの円を描くことになります．そして，始めに，辺BCがx軸に垂直（x軸と90度の角度）の状態にあるものとします．ここから点Cを時計方向（時計の針が進む方向）に動かして，点Cがx軸上に重なったときは，次の式が成り立ちます．(AB)+(BC)=(CD)+(DA)．すなわち，
　　　a+b=c+d　　・・・・・(1)
同様に，辺BCがx軸に垂直（x軸と90度の角度）の状態から，点Cを反時計（時計の針が進む方向の逆方向）に動かして，点Cがx軸上に重なったときは，次の式が成り立ちます．(AB)+(DA)=(BC)+(CD)．すなわち，
　　　a+d=b+c　　・・・・・(2)
(1)と(2)から，次の(3)，(4)が得られます．
　　　a=c　　・・・・・(3)
　　　b=d　　・・・・・(4)
この(3)式と(4)式は，4角形ABCDが長方形（図１参照）であることを示しています．この長方形ABCDは，互いの対辺の長さが等しい長方形であることは言うまでもありません．（図１参照）

　　　y軸　　　　　　　　　　図１：長方形ＡＢＣＤ
　　　|
　　　|　　　　　　　ａ
　　Ｄ|------------------------------|Ｃ
　　　|　　　　　　　　　　　　　　　|
　　ｂ|　　　　　　　　　　　　　　　|ｂ
　　　|　　　　　長方形ＡＢＣＤ　　　|
　　　|　　　　　　　　　　　　　　　|
　----|------------------------------|------　x軸
　　　Ａ　　　　　　ａ　　　　　　　Ｂ

長方形ABCDから，次のことが言えます．
(i)：対角線ACとBDの交点は，常に，対角線ACとBDの中間点（対角線の長さの1/2の点）に存在する．
(ii)：対角線ACとBDの交点の座標は，常に，x座標が，点Aと点C(x軸上へ投影)の中間点，y座標も点Aと点C(y軸上へ投影)の中間点となる．
(iii)：点Cを動かすと，長方形ABCDは，菱形ABCDとなる（図２参照）．
点Cを時計方向に動かした時（中心点B，半径bの円），対角線ACとx軸のなす角をθとする（図２参照）．

　　　　　　　　　　　　　図２：菱形ＡＢＣＤ
　　　y軸　　　　　　　　　　　ａ
　　　・　　　Ｄ・・　・・　・・　・・　・・　・・・Ｃ
　　　・　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　・・
　　　・　ｂ・　　　・対角線ＡＣ　　　　　　ｂ・　・
　　　・　・　　・　　　　　　　　　　　　　・　　・ｑ
　　　・・　・θ　　　　　　　　　　　　　・　　　・
　　　・・・・・・・　・・・　・・・・　・・・・・・・・・・　x軸
　　　Ａ　　　　　　　　　ａ　　　　　　Ｂ　　ｐ　Ｅ

点Cからx軸上に垂線を降ろし，x軸との交点をＥとする．点Bから点Eまでの距離を p とする．点Cから点Eまでの距離を q とする（図２参照）．対角線ACの長さをLとする．対角線ACとBDの交点の座標を(x,y)とすると，つぎの式が成り立つ．
　　　x^2 + y^2 = (L/2)^2　　・・・(5)
一方，次の式も成り立つ．
　　　(a+p)/L = cosθ　　・・・・・(6)
　　　　　q/L = sinθ　　・・・・・(7)
この(6)と(7)より，
　{(a+p)/L}^2 + {q/L}^2 = (cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1　　・・・(8)
故に，(8)を整理すると，次式を得る．
　　L^2 = (a+p)^2 + q^2　　　　　　　・・・(9)
　　L^2 = a^2 + p^2 + 2ap + q^2　　　・・・(10)
図２によると，p^2 + q^2 = b^2 が成り立つので(10)は，
　　L^2 = a^2 + b^2 + 2ap　　　・・・(11)
と書ける．次に,(11)の p を求める．q = 2y であるから p^2 + q^2 = b^2により
　　b^2 = p^2 + 4y^2　　　・・・(12)
である．したがって，
　　p = ±(b^2 - 4y^2)^{1/2}　　　・・・(13)
となる．この(13)により(11)は，
　　L^2 = a^2 + b^2 ±2a(b^2 - 4y^2)^{1/2}　　　・・・(14)
この(14)と(5)より
　x^2 + y^2 = [a^2 + b^2 ±2a(b^2 - 4y^2)^{1/2}]/4　　・・・(15)
　4(x^2 + y^2) - (a^2 + b^2) = ±2a(b^2 - 4y^2)^{1/2}　・・・(16)
(16)の両辺を２乗すると
　{4(x^2 + y^2) - (a^2 + b^2)}^2 = 4a^2(b^2 - 4y^2)　・・・(17)
となり，対角線の交点の軌跡は4次曲線となる．どこかに，勘違い，考え違い，仮定の誤り，計算違いがあるかも知れませんので，よく調べて下さい．(図形がうまく描けないので，想像して下さい)