確率（・・・

質問

確率がにがてで・・・

nを6以上の自然数とする
1.2.3.4.….nから異なる6個の数を無作為に選びそれらを小さい順に並び替えたものを

X1<X2<X3<X4<X5<X6
とする

１）X3=5となる確率Pnを求めよ

２）Pnを最大にする自然数ｎを求めよ

この問題なんですが・・・
１）
X1.X2の範囲は1～４まで…(1)
X4.X5.X6の範囲は6～n　…(2)

(1)の選び方は4C2=6

ここまでが限界です（汗
6～nまでで3こ選べばよいから・・・っていう考え方であってるのでしょうか
この続きを教えてください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>6～nまでで3こ選べばよいから・・・っていう考え方であってるのでしょうか

＃実際に解いて回答してるのではないんですが

あってるんですけども，このままだと
この問題の引っ掛けにはまりますよ．

確率に限らず「一般のn」が絡んでる問題が
考えにくかったら，まずは具体的なnで試算することをお勧めします．

この問題，「nを6以上の自然数とする」なんていってますけども
n=6のとき，1)のPnってどうなると思いますか？
n=7，8，9と攻めていけば，だいたい分かるはずです．
そうしたら，いかにも
「最初っから見抜いてました」的に
解答を整理すればよいのです．

2)は・・・やっぱり解いてないけど，
たぶん普通の関数のように考えると
厄介そうな気がします．
きっと Pn+1/Pn を計算して，それを１と比較すればよいのかなと
思います．

お礼

具体的にですかぁ
貴重なご意見アリガトウございます
確かに１）のばあい実質的な範囲はn≧8ですよね（汗

回答No.3

kumipapa

#2さん

P_nとP_n+1の比較ですが、P_9 = P_10になりませんか？
P_nを最大とするnは9と10かな。

回答No.2

aquarius_hiro

aki121さん、こんにちは。

考え方あっていると思いますよ。

X1,X2が、1～4の中から2つなので、書かれているように、4C2=4!/2!2!=6 … (1)

X4,X5,X6が、6～nの(n-5)個の中から3つなので、(n-5)!/3!(n-8)! … (2)

すべての場合の数は、n!/6!(n-6)! … (3)

故に、

P_n = [4!/2!2!・(n-5)!/3!(n-8)!]/[n!/6!(n-6)!]
　　= [6・(n-5)(n-6)(n-7)/3!]/[n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/6!]
　　= [(n-6)(n-7)6!]/[n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)]
　　= 720(n-6)(n-7)/[n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)]

ということになります。

P_{n+1}/P_n =　 { [(n-5)(n-6)6!]/[(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)] }
　　　　　　　/ { [(n-6)(n-7)6!]/[n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)] }
　　　　　　=　 { [(n-5)]/[(n+1)] } / { [(n-7)]/[(n-4)] }
　　　　　　=　 { [(n-5)(n-4)]/[(n+1)(n-7)] > 1

となるのは、

(n-5)(n-4) > (n+1)(n-7)
n^2 -9n + 20 > n^2 -6 n - 7
3n < 27
n < 9

つまり、

n < 9 のときには、P_{n+1} > P_{n}
n > 9 のときには、P_{n+1} < P_{n}

nを1から増やしていくと、n=1,2,3,4,5,6,7,8 では P_n は増加し、
また、n=10,11,12,13 … では減少していくので、

n=9 で P_n が最大になります。

計算違い等あったらすみません。

お礼

アリガトウございます
n-5っていうはっそうですね・・・（汗

ほんとうにありがとうございました。