極限操作は不等号関係を保存しますか？

質問

今、x≦yとします。このとき、関数列{f_n}がｆ_n→f(n→∞)と収束したとします。
このとき、f_n(x)≦f_n(y)ならば、f(x)≦f(y)は一般に成り立つのでしょうか？極限操作で不等号が成立しなくなる場合ってありますか？

回答お願いします。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

> 今、x≦yとします。このとき、関数列{f_n}がｆ_n→f(n→∞)と収束したとします。
> このとき、f_n(x)≦f_n(y)ならば、f(x)≦f(y)は一般に成り立つのでしょうか？

一般に成立ちますよ。

> 極限操作で不等号が成立しなくなる場合ってありますか？

不等号が≦のように等号付きのものであれば、成立しないことはありえません。

x ＜ y に対して、

f_n(x) ＜ f_n(y)

のように等号が入らないときには、極限は

f(x) ≦ f(y)

のように等号が入ります。

[証明]

要するに何かというと、f_n(x) と f_n(y) が f_n(x)≦f_n(y) を守りながら、それぞれ f(x) と f(y) にいくらでも近づいていくのに、大小関係が逆転することはないということですが、それを数学的にきちんと証明するには、次のようにします。

関数列の収束は、

任意のεに対して、十分大きな N を選べば n ＞ N なるすべての n に対して、

| f_n(x) - f(x) | ＜ ε
| f_n(y) - f(y) | ＜ ε

が成立つと書くことができますね。

すなわち、

f_n(x) - ε ＜ f(x) ＜ f_n(x) + ε … (1)
f_n(y) - ε ＜ f(y) ＜ f_n(y) + ε … (2)

いま、x ≦ y に対して、f_n(x) ≦ f_n(y) がすべての n に対して成立しているのに、f(x) ≦ f(y) が成立たなかったとします。

つまり、f(x) ＞ f(y) となる x≦y が存在したとします。

その差を a > 0 とおきますと、f(x) = f(y) + a ですが、

ε=a/3 ととることができるので、(1), (2) より、

f_n(x) + a/3 ＞ f(x) = f(y) + a ＞ (f_n(y) - a/3) + a = f_n(y) + 2a/3

f_n(x) ＞ f_n(y) + a/3 ＞ f_n(y)

となってしまい矛盾です。

（証明おわり）

x＜y に対して、f_n(x) ＜ f_n(y) のときに、極限が f(x) = f(y) になることがあっても良いのは、この証明で a=0 とすれば明らかで、そのときには ε=a/3 にとることができませんので、矛盾を導くことができません。

簡単には、f_n(x) = x/n という例でよいでしょうね。

x ＜ y では、必ず f_n(x) = x/n ＜ y/n = f_n(y) が成立ちますが、極限 n→∞ では、f(x) = 0 = f(y) になります。

お礼

非常に丁寧な説明をつけてくださり、ありがとうございました。大変参考になりました。