ＮからＮ×Ｎの全単写

質問

自然数Ｎ（0以上の整数）の
ＮからＮ×Ｎの全単写というのは、どういうものがあるのでしょうか？

Ｎ×ＮからＮならなんとかなるのですが、逆はどうしてもうまくいきません…。

回答No.5

boiseweb

質問者さんにあえてカウンターパンチを浴びせる回答ですが，なぜ「数式で表す」ことにこだわるのでしょうか？

写像を具体的に特定する方法は，「数式で表す」だけではありません．
たしかに，写像を数式で記述すれば，簡潔にかつ曖昧さなく写像を特定できて，また，計算するときにも扱いやすいので，便利です．
しかし，「書き表したい写像はこういう写像」という理解がものすごく明確であるにもかかわらず，それを「四則演算などの数式で書く」ことはひどく困難，あるいは不可能であることは，しばしば起こります．
たとえば，正整数全体の集合からそれ自身への写像 f を，「f(n) は n 番めの素数」という規則で定めます．このとき，f がどんな写像であるかは，この言葉での説明によって十分に簡潔にかつ曖昧さなく記述されています．しかし，この写像 f を四則演算などを用いた簡潔な「数式」で書き表す方法は知られていません．
写像を考えるときに「数式で表せる写像」だけに考えの対象を絞り込んでしまうことは，たくさんの（数式では表せないものの）有用な写像たちを考えの対象から排除してしまう重大な損失である，という見方もあり得ます．

A から B への全単射 g が数式で表されているときに，B から A への写像 h を「g の逆写像」と言い表すのは，h という写像が何であるかを簡潔にかつ曖昧さなく表現しているので，十分に「よい記述方法」である，という見方だってできます．

z = (x+y) (x+y+1)/2 + x の逆写像を数式で表すというNo.3回答者さんの試みは，それはそれで興味深いです．ただ，そうして得られた数式が，その写像を理解する有用な見方を与えるか，また，その写像の値を具体的に計算するうえで便利か，というのは，また別の問題のように思います．