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(難)アポロニウスの円の不思議な性質
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javaff/apollonius.html にかいてあることなのですが、 ΔABCにおいてB,Cからの距離の比がAB:ACに等しい点の軌跡,C,Aからの距離の比がBC:ABに等しい点の軌跡,A,Bからの距離の比がAC:BCに等しい点の軌跡は一般に円になりますが,この3円(ka,kb,kc)をΔABCのアポロニウスの円という。 ・外接円と直交する ・中心は一直線上にある ・外接円の点Aにおける接線と直線BCとの交点は円kaの中心である ・3円は2点で交わる(等力点という) これらの性質をどのように示せばよいかわかりません。 一般に、二等分線の性質 http://www.nikonet.or.jp/spring/toubun/toubun.pdf があるので、それを用いれば示せそうに思うのですが。 すみませんが困っております。ご教示ください。
- dfhsds
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とりあえず方針だけです #というか,正直きちんと解けてない(^^;; ひとつだけいえるのは, これは今の中学・高校の数学の「初等幾何」の範疇では 解けません.無限遠を考える必要がありますので. たぶん射影幾何とか「反転」とかそういう領域まで踏み込んだ 初等幾何が必要ですよ. 例えば,正三角形で考えたらどうなるかというと, 円はでてきません.三本の中線がここでいう 「アポロニウスの円」になります. 中線なので「重心」で交わります.もう一個の交点は「無限遠点」です. 無限遠点を通る円は直線であるという視点が必要です. 二等辺三角形で考えるとまたちょっと違うものがでてきます. 方針: (1) 例えば直角二等辺三角形とか正三角形だけで証明します. (2) 示したい性質を保存する変換で,任意の三角形を(1)で使った三角形に変換できることを示します. 一次分数変換とかで変換して考えるのがよいかもしれません.
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- debut
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これが、座標と三角形の辺の長さなどを使っての 計算であれば、簡単に(といっても面倒な計算では あるけど)示せますが、やっぱり幾何的な性質を 使ってじゃないとだめなんでしょうねえ。
お礼
ありがとうございます。 とても難しいことだけは分かりました。
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お礼
ありがとうございます。 とても難しいことだけは分かりました。