「アキレスと亀」のお話について

質問

■アキレスと亀

　アキレスはどんなに頑張って走っても、自分より先を歩む亀に追いつく
　ことができない。なぜならアキレスが亀が今いる所まで辿り着いた時、
　亀はそれより少し先まで行っている。アキレスがその地点まで行った時
　には、亀はまた更にその少し先まで行っている。アキレスがその地点まで
　行った時には、亀はまた更にその少し先まで行っている。アキレスがその
　地点まで行った時には、亀はまた更にその少し先まで行っている。。。。
　ということで、アキレスは永久に亀に追いつけないのである。

これがどういうお話なのか理解できません。いつかアキレスは亀を追い越すと思うのですが・・・。

回答No.12

wolv · ベストアンサー

アキレスと亀について言えば、
　　…亀はまた更にその少し先まで行っている…
この部分は、まあ、これでいいんですが、
　　…ということで、アキレスは永久に…
ここが間違っているわけです。

Ｎｏ８の回答の数値を使い、さらに、アキレスと亀の速度を仮に、秒速１０ｍ、秒速１ｍとすると、

はじめに亀がいたところまでアキレスが移動するのにかかる時間は、
（アキレスが１０ｍ移動するので、）
　　１０ｍ　÷（１０ｍ／秒）＝　１秒
次の時点までは、
　　１ｍ　÷（１０ｍ／秒）＝　０．１秒
その次までは、
　　０．１ｍ　÷（１０ｍ／秒）＝　０．０１秒
このように、どんどん細かく考えていくと、
確かに、「どんなに考えても、アキレスが亀に追いつくところまでは考えられない。」ということになります。しかし、実際に経過している「アキレスと亀の時間」は、
　　１秒　＋　０．１秒　＋　０．０１秒　＋　…
　　＝　１．１１１１１１１１…　秒
という有限の時間です。つまり、元の「アキレスと亀の話」の前半部分で言っていることの意味を、分かりやすく翻訳して、元の文を書くと、

　　ある有限の時間ではアキレスは亀に追いつかない。
　　よって、アキレスは永久に亀に追いつけないのである。

となります。こうすると、「よって…」の部分がまちがっているのがわかりますよね。

アキレス・亀の速度・はじめの両者の距離を適当な文字で置くことで、１００ｍ・１０ｍ／秒・…などの特定の値以外の場合でも、ここまでに書いたことが成り立つように証明できると思いますが、そこはこの回答では省略させていただきます。

お礼

お返事どうもありがとうございます！ちょっとお聞きしたいのですが、

＞実際に経過している「アキレスと亀の時間」は、
　　１秒　＋　０．１秒　＋　０．０１秒　＋　…
　　＝　１．１１１１１１１１…　秒
という有限の時間です。

その「・・・」には、ずーーっと１が続くわけですよね？それって無限なんじゃないでしょうか？でも考えてみると２秒にはなりませんね。そう考えると有限かな？

１０メートル離れてて、アキレスが秒速１０メートル、亀が１メートルとすると、一秒で亀とアキレスは９メートル縮まるから、それを式に直すと10/9=１，１１１１・・・ですね。おぉこれはやはり小数点はずーと続くけど分数の形だと表すと思いっきり定数ですね。わかりました！どうもありがとうございます。算数みたいに10÷9なんして答え出すとこからは出てこない発想ですね。おかげさまで矛盾点がわかったので良かったです。

回答No.13

wolv

「とても読みやすい」とはいえないのですが、

「パラドックスの存在する意味」

（↑ちょっとニュアンスが違うのですが、他に適当な言葉が思いつかない）
について解説されているような気がするので、参考にしてみてください。

http://www.google.co.jp/search?q=cache:OEtG2Zl8IdAC:fcs.math.sci.hokudai.ac.jp/doc/lect/am99/12am99.pdf+%E3%83%91%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%8B%E3%83%87%E3%82%B9+%E3%82%A2%E3%82%AD%E3%83%AC%E3%82%B9&hl=ja&ie=UTF-8&inlang=ja

参考URL：

http://www.google.co.jp/search?q=cache:OEtG2Zl8IdAC:fcs.math.sci.hokudai.ac.jp/doc/lect/am99/12am99.pdf+%E3%83%91%E3%83%

お礼

ご紹介ありがとうございます！いってみましたそのページ。
いやはやすごいスケールですね。「パラドックス」に触れられてよかったです。日常にもあふれてますもんねパラドックスが。あんまり意識してないけど・・・。
どうもありがとうございました！！

回答No.11

misoka

この詭弁の意味するところが何であるのか、というのは、
諸説あるようです。
そういう諸説の中の１つとしてお話したいと思います。

たとえば、数直線のようなものを考えた場合、
0から1までの間に、（小数を含めて）何個の数が
存在するでしょうか？　無限でしょうか？
そう、数直線上のある線分は無限に分割できるはずです。
同じように、もし空間を無限に分割することができる、
と仮定した場合、そして、どこまで分割しても、永遠に
ゼロに至らない、という考え方をした場合に、
アキレスと亀の矛盾に、ストレートに引っかかってしまうの
ではないか？
つまり、この詭弁の意味するところは
「無限に分割するように考えることの誤り」を指摘すること
なのだ、というわけです。

中公新書『逆説論理学』（野崎昭弘著）を読んでみると、
この詭弁の作者、ゼノンの目的は「師パルメニデスの説を
弁護する」ことにあったらしい、という話がでてきます。
パルメニデスの説とは「存在するものはすべてひとつで
不変不動、分割不能」というものだったそうです。

# パルメニデスの説については、私、詳細は知りません。

空間的な世界を分割するということに絡んだ話は、
量子論のような先端的な学問とも関連しそうです。
先端的な学問は、このことについてどう考えている
のでしょうか？
その道の詳しい方に伺うと、面白い答えが返ってくる
かもしれません。

お礼

＞たとえば、数直線のようなものを考えた場合、
0から1までの間に、（小数を含めて）何個の数が
存在するでしょうか？　無限でしょうか？
そう、数直線上のある線分は無限に分割できるはずです。
同じように、もし空間を無限に分割することができる、
と仮定した場合、そして、どこまで分割しても、永遠に
ゼロに至らない、という考え方をした場合に、
アキレスと亀の矛盾に、ストレートに引っかかってしまうの
ではないか？

わかりやすい☆わかりやすくて感動しました。まぁ見た目は有限ですけど、哲学者って深いことを考えるんですね。おもしろい話です。どうもありがとうございました。

回答No.10

-soh-

おはよー、sohです

＞つまり解決できないので無視すればいいと言うことですか？

ちっが～～～～～～～～～～～～～う！！！
止まってどーする！？　そーじゃな～い！（ぷんすか

せっかく
＞場面場面の状態をぶつ切りにして考えてるというか・・・。

まで出てるんだから後少しだ！　ふぁいとっ！

＞どう考えればよいのですか？
＞
そうだなぁ、近いところまで出てるみたいだから
整理する意味で

１　図に書く（わしが書いた図をもっと発展させて３０個くらい書いてみ）
２　違う方程式で検算する（中学生でも解ける問題に直せるっしょ？）
３　検算した方程式と、今回の図の相違点を考えて足りない概念を見つけ出す

までやればいいんじゃないかしら？

まぁ、これやって３日考えて
まだわかんなかったら紹介してくれてるHP見るか
またここで
「簡単にこれを説明してくれぇ！！」って書けば
誰か教えてくれるよ（笑

こっちは確かにムずいよねぇ。。
飛んでる矢は止まってるの方は文章が間違っているから間違っているだけなんだけど
こっちは一見あってそうだもんねぇ

ま、あと少しだ、ふぁいとっ

さてと、わしは、２度寝しよ～っと。。。。（-_-zzzZZ

お礼

こんにちは。再びお返事ありがとうございます！自分で考えてみようと思ったのですが、NO,11のmisokaさんのお返事でパラドックスの意味がわかりました。矢のはなしと一緒ですね！とまあ、これで内容は理解できましたのでよかったです。足りない概念って区間が有限か無数の点でできているかということですか？

回答No.9

rakufu

私の中ではアキレスはまだ亀に追いついてもいないが、かといって放たれた矢を止まってるといってつかみ取りした人も見たことがありません。
数学を考える人たちはここで止まるわけにはいきませんからとりあえず乗り越えなければならなかったでしょうが、私はいまだにこういうこともあると思ってます。
そうやって思考を継続させてみているのですが、そういう話なんでしょうかね。

お礼

＞数学を考える人たちはここで止まるわけにはいきませんからとりあえず乗り越えなければならなかったでしょうが、私はいまだにこういうこともあると思ってます。

つまり解決できないので無視すればいいと言うことですか？なるほど、これがパラドックスの説明なら「あ～この話は一見正しいけど実際はおかしいな」ということを実感して終わりですもんね。整然と理解できればパラドックスではないということになって普通の話ですもんね。ということは質問すること自体誤ってたんですね。でも今回内容を理解できたので良かったです。

回答No.8

-soh-

ついでに数値も書きますか。
アキレスはカメより１０倍早く歩いてるとします。
(1)の時点でアキレスとカメの間が１００ｍ開いていたとしましょう。
(2)の時点でカメとアキレスの距離はアキレスが１００ｍ歩く間にカメが歩けた距離
つまり１０ｍですな
次に(3)になったとき アキレスとカメの距離はアキレスが１０ｍ歩く間にカメが歩けた距離
つまり１ｍですね
次にアキレスがさっきカメのいた位置に着く時カメとアキレスの距離はアキレスが１ｍ歩く間にカメが歩けた距離
つまり１０cmですね
次にアキレスがさっきカメのいた位置に着く時カメとアキレスの距離はアキレスが10cm歩く間にカメが歩けた距離
つまり１cmですね
次にアキレスがさっきカメのいた位置に着く時カメとアキレスの距離はアキレスが1cｍ歩く間にカメが歩けた距離
つまり0.1cmですね
次にアキレスがさっきカメのいた位置に着く時カメとアキレスの距離はアキレスが0.1cｍ歩く間にカメが歩けた距離
つまり0.01cmですね
次にアキレスがさっきカメのいた位置に着く時カメとアキレスの距離はアキレスが0.01cｍ歩く間にカメが歩けた距離
つまり0.001cmですね
いつまでたっても０にはなりません。
さて、一体全体 どーしてカメとアキレスの差は０にならないのでしょう？

んじゃっ

お礼

こんにちは。お返事ありがとうございます。NO,7の図ではまだ、わからなかったんですが、NO,8の数値で説明していただいたおかげで初めて理解できました！
やっとスタートラインに立てたって感じですね。そう考えれば一見正しいように思えます。

＞さて、当然これは「何か」がおかしいんですけど「何」がおかしいから図の上でこーなってしまうのでしょう？この謎が、貴方にとけますか？ってのがそのお話で言いたいことです。

亀とアキレスを別々に考えてるからじゃないですか？・・・Ｕｈ～思考がループしてラリってます。これはNO,5の方が仰っていますが、微分しているということですね。なんか場面場面の状態をぶつ切りにして考えてるというか・・・。
どう考えればよいのですか？

回答No.7

-soh-

こんちゃ～ sohです
わかりやすく
図に書いてみてください

アキレスはカメの後ろを歩いています。(1)参照

さて、アキレスが(1)でカメのいた位置まで来た時カメだって歩いてるんだから当然先に進んでいますよね？(2)参照

さらに歩いて (2)でカメのいた位置までアキレスが歩いた時、またもカメだって歩いてるんだから(2)でいた位置より先を歩いていますよね？(3)参照

さらに歩いて (3)でカメのいた位置までアキレスが歩いた時、またもカメだって歩いてるんだから(3)でいた位置より先を歩いていますよね？（以上ずっと繰り返し）

(1)
---------------------------------------------
　　　　　　　↑　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　カメ　　　　　　　　　　　　アキレス
(2)
---------------------------------------------
　　　　↑　　↑　　　　　　　　　　　　　　
　　　　カメ　アキレス　　　　　　　　　　　　
(3)
---------------------------------------------
　　　↑↑　　　　　　　　　　　　　　
　　カメアキレス　　　　　　　　　　　　

さて、当然これは「何か」がおかしいんですけど
「何」がおかしいから図の上でこーなってしまうのでしょう？
この謎が、貴方にとけますか？
ってのがそのお話で言いたいことです。

んじゃ

回答No.6

wolv

アキレスは亀を追い越します。

理論的にただしいことをなれべていったはずなのに、なんだかおかしい結果が導き出される、という文章だか理論を、一般に「パラドックス」といいます。「アキレスと亀」はパラドックスの一つで、有名なものです。

０．正しいことから理論的に導き出されたことは正しいので、

１．一見まちがっているように思える結論は、実は正しい
２．一見正しいように思える理論（個々の文）は、実はまちがっている。

実際はこの１か２のどちらか成り立つことになります。（あるいは、０が間違っている）

つまり、「この理論はどこが間違っているでしょう。お前、わかる？」と挑戦されているわけです。

お礼

＞つまり、「この理論はどこが間違っているでしょう。お前、わかる？」と挑戦されているわけです。

ということは、「間違っている」のは前提ですか？すると、２の「一見正しいように思える理論（個々の文）は、実はまちがっている。」にあたるのですか？
私にはその前に、一見正しいようには思えないのですが・・・。
つまりパラドックスを理解していないと言うことですね。(^^i)
間違っているところはわかりません。教えてください。

回答No.5

mellon

パラドックスっていうんですね…って回答にはなってませんが、私はこの話を高校時代に数学の授業で聞きました。

たしか微分積分の授業で、先生はこのアキレスと亀の話をして「微分積分っていうのはこういうことを学ぶ学問なんですよ」としめくくっていましたが、私には理解できませんでした。
(o^<^)o

回答にはなっていませんが、ご参考にまで…

お礼

こんにちは。

＞回答にはなっていませんが、ご参考にまで…

いえいえそんなことありません。微分積分の授業ででてきたんですね。
それはどういうこと何でしょうね。どうもお便りありがとうございました！

回答No.4

minatouri

私の理解している限りでは以下の通り．

アキレスは，（最初に亀のいたところにたどり着くまでにかかる時間）×2の時間内では亀に追いつかないけれど，それ以上時間が経過するとあっさり追い越していきます．

詳しいことは「アキレスと亀　パラドックス」で検索してください．私には？な難しい話がたくさんあります

お礼

＞アキレスは，（最初に亀のいたところにたどり着くまでにかかる時間）×2の時間内では亀に追いつかないけれど，それ以上時間が経過するとあっさり追い越していきます．

お返事ありがとうございました。すみません、どういうことなのかよくわかりません。

回答No.3

ranx

「無限」というものについて考えた時に生ずるパラドックスの一例です。
おっしゃる通りアキレスは亀を追い越しますが、なぜ追い越すことが
できるのか、説明できますか？

お礼

＞「無限」というものについて考えた時に生ずるパラドックスの一例です。

「無限」ですか？ちょっとよくわからないので、そこのところをもうちょっと詳しくお願いできますか？

＞おっしゃる通りアキレスは亀を追い越しますが、なぜ追い越すことが
できるのか、説明できますか？

そういわれると、説明に困りますね。自明と思っていたので。
追いつかないというのと同じくらい説明できないと思います・・。