アキレスと亀のパラドックスとは？
- アキレスと亀のパラドックスとは、アキレスと亀が競争する際にアキレスが亀に追い着くことができないという矛盾を示す問題です。
- アキレスが亀に追い着くことができない理由は、亀がアキレスの前方にいる間に、アキレスが亀のいた地点に到達しても亀はまだ先に進んでいるからです。
- この問題では、アキレスと亀の競争が無限に続くため、アキレスは亀に追い着くことができないという結論に至ります。
- ベストアンサー
アキレスと亀のパラドックス
ってありますよね。あれの正解（何が間違ってるのか）を平易な言葉で説明するとしたら、どうします？自分なら「アキレスが亀がいた地点に到達、亀が移動をずっと繰り返していけばいずれは亀が移動しないターンがくる」と言います。これより的確に説明できますか？？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ アキレスは亀の後方から出発することにして、両者が同時に発走すると、アキレスは最初に亀のいた地点に到達する。しかしその時には亀はいくらか先んじている。次にその亀の地点にアキレスは到達する。しかしその時にもやはり亀はいくらか先んじている。以下同様に続き、このループから抜け出ることができない。よって、アキレスが亀に追い着くという場面は生じない。そのイメージは、 Ａ‥‥‥‥‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1) ‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥(3) である。つまり、アキレスと亀の競走は(1),(2),(3),…と展開し、これら場面の系列は完結することがないので、アキレスは亀に追い着けない。
- kikizyouzu
- お礼率1% (2/117)
- 数学・算数
- 回答数9
- ありがとう数3
- みんなの回答 （9）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
答えは簡単。 追いつく前の話しかしていないのだから追いつかなくて当たり前です。 亀が元いた場所というのは、現在の亀の位置よりも後ろなのですから、アキレスが亀が元いた場所についた時というのは追いつく前のことであることは自明でしょう。 それをおさえたうえで、何故延々と追いつく前の話を続けられるのかを考えてみればよいと思います。その際には級数や極限の話も参考になってくると思います。
その他の回答 (8)
「よって、アキレスが亀に追い着くという場面は生じない。」 が誤り。追い着く場面が生じないと言ってるが、生じる。 生じるものを勝手に生じないと嘯いてもだめです。 亀の進む距離はだんだんと０へ近ずく。すなわち追い越される 地点へ近ずく。なので、追い越される。
N－－－－＞∞の極限値を求めないで、 この論法は N=1の場合とか N=２の場合とか ・ ・ ・ N=10の場合とかやっている。 それではいつまでたってもアキレスは亀においつけない。 アキレスが亀に追いつく地点と時刻を N====>∞とやって極限値を求めるべし。
- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
聞き手が数学の分かる人であれば、級数の「和」が有限でも「項数」が無限になるので、「和」と「項数」のたくみな「スリカエ」である、と言えばいいでしょう。 もし分からない人であれば、１枚の紙を半分に切る、手に残った片方をまた半分に切る。これを無限に繰り返す‥‥ このとき「切る回数」は無限でも「紙の総面積」は有限です。つまり「アキレスとカメの比較回数」は無限でも「追いつくまでの時間」は有限です。紙の例で言えば「回数」と「面積」という“別の概念”をスリカエているにすぎません。
- NIWAKA_0
- ベストアンサー率28% (508/1790)
この状況を客観的に観ると、 アキレスが亀を追い抜く瞬間までを、ビデオでスローにして観ているようなものです。 それも、段々再生スピードを遅くして。 そのシーンの直前で停めていたら、いつまで経っても追い抜くシーンに辿り着かないのは当たり前です。
>Ａ‥‥‥‥‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1) ‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥(3) これは、 ある時刻 t(i) にＴがいた地点へＡが到達した時刻を t(i+1) とすれば、時刻の系列 {tk, k = 1, 2, 3, ...... }は無限系列。 というタイムチャートですね。 確かに、この説明は無限に続けるしかなさそうです。 でも、「その無限系列を走破するのに要する時間も無限大である」という証明にはなってません。 有限区間も「地点」の無限系列ですから。 たとえば、時刻 t(i) から t(i+1) までの速度が時刻差に比例して減少していくのなら、「その無限系列を走破するのに要する時間も無限大」に発散しそうです。
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
何が間違っているとかではなく、アキレスと亀のパラドックスの論法では『アキレスは亀に追い付けない』と結論することはできない。 アキレスと亀のパラドックスの論法によれば、亀は常にアキレスよりも少しだけ前にいる。 だが同時にいつでもアキレスが亀を追い越すチャンスは残されている。 (アキレスが亀に追い付けないまま競争が終わるという記述はどこにもない) つまり『アキレスは亀に追い付く』と結論することはできないし、同時に『アキレスは亀に追い付けない』と結論することもできない。 アキレスと亀のパラドックスの論法を素直に受け止めれば、アキレスが勝つか亀が勝つかいつまで経っても結論は出ない。 なぜ結論が出ないか、それは結論が出ないような語り方をしているから。 アキレスと亀のパラドックスは、アキレスが亀に追い付くまでの有限の時間の出来事を無限の時間をかけて語る語り方です。 その様な語り方をすると、論理的に勝敗を導くのに無限に時間がかかる。 言い換えると、そんな語り方ではいつまでも結論を導けないのです。
- kagakusuki
- ベストアンサー率51% (2610/5101)
ゼノンのパラドックスですね。 >これら場面の系列は完結することがないので、アキレスは亀に追い着けない。 場面は無限にあるかもしれませんが、アキレスと亀の間隔が狭まるのに従って、アキレスが亀のいた地点に到達するのに要する時間は短くなって行き、無限回目の場面では、アキレスと亀の間隔は無限に小さくなり、アキレスが次の地点に到達するのに要する時間も無限に短くなります。 無限に小さい数値を無限回加算した場合、得られる答えは有限の数値となり、無限大にはなりません。 従って、場面は無限にあったとしても、その無限の場面が経過するためには、有限の時間しか掛かりません。 【参考ＵＲＬ】 ゼノンのパラドックス - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 「アキレスと亀の話」 http://www.geocities.co.jp/WallStreet-Bull/9625/zenon.html
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんばんは。 式で書くのがよいですね。 質問者様の説明を式にすると、下記のようになります。 ｎ回目にけるアキレスの位置（座標）をＡ（ｎ）、亀の位置（座標）をＴ（ｎ）、目的地をＧと置きます。 Ａ（ｎ）も、Ｔ（ｎ）も、ｎに対して単調増加。 つまり、 Ｇ ＞ Ａ（ｎ＋１） ＞ Ａ（ｎ） ・・・（あ） Ｇ ＞ Ｔ（ｎ＋１） ＞ Ｔ（ｎ） ・・・（い） アキレスの位置は、亀の１段階前の位置と同じ。 Ａ（ｎ＋１） ＝ Ｔ（ｎ） ・・・（う） （い）、（う）より、 Ｇ ＞ Ｔ（ｎ＋１） ＞ Ａ（ｎ＋１） これは、任意の自然数ｎについて常に成り立つ。 以上、ご参考になりましたら幸いです。
関連するQ&A
- アキレスと亀
あるところにアキレウスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレウスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンデをもらって、いくらか進んだ地点（地点 A とする）からスタートすることとなった。 スタート後、アキレウスが地点 A に達した時には亀はアキレウスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる（地点 B）。アキレウスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む（地点 C）。同様にアキレウスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけないことになる。 これは正しいでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- パラドックス
前から不思議に思って気になっていたんですが、 みなさんも知っている方が多いと思いますがこういうパラドックスがあります。ゼノンのパラドックスというそうです。 あるところにアキレスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らかいくらか進んだ地点（地点 A とする）からスタートすることとなった。 スタート後、アキレスが地点 A に達した時には亀はアキレスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる（地点 B）。アキレスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む（地点 C）。同様にアキレスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる。 というものですが、これは理論上のみで実際にはありえないことなのでしょうか？多分実際にそんなことはないのでそうだと思いますが・・・ これについて意見をおきかせください。 バカらしい質問かもしれませんが・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- ゼノンのパラドクス＝アキレスと亀 その２
相変わらずこだわっていますが。 大発見（気づき）なので。 「ンノゼのパラドクス」から、一週間ほど経ちますが、もう一度“気づき”があったので、質問します。 「なんか変」を解こうとした回答は、なぜアキレスが亀を追い越せないかを、説明するものでした。 そこで私は、逆転の発想をしてしまったのです。 亀はアキレスが追いつくまでにどの地点まで歩けるか、と。 そう考えたら、このゼノンの言葉のトリックに気がついたのです。 そこまでを小刻みにしていって“追いつけない”を“証明”？しているように見せかけているのだと。 ですが、そう解釈して済ませてしまうと、“言葉の魔術”で済んでしまいます。 そこで問います。 なぜ、この問題がパラドクスなのでしょうか。
- 締切済み
- 哲学・倫理・宗教学
- アキレスと亀のパラドックスについて
アキレスと亀のパラドックスについて質問です。 このパラドックスを説明するのにほとんどが無限等比級数を使って、説明していますが理解に苦しんでいます。ゼノンは今回出る無限等比級数の和を本当はある値に収束するのにもかかわらず無限であると勘違いしたんですよね。しかし仮に今回の無限等比級数の和がある値に収束したわかってたとしても、それは無限の操作をし終えてやっと追いつくんではないんですか？でも実際に無限の操作をし終えるというのは数学上でも現実ではありえないことです。でも現実ではおいついている・・・。もう訳がわかりません。どんなサイトでも、最終的に得意の無限等比級数を登場させて、「はい、収束するでしょう、だから追いつくのです。」と説明していますが、理解に苦しみます。 実際には中学一年生の速さの問題で出るような程度の数学で追いつく時間や距離が求まることは知っていますが・・・。でも実際追いつこうとしているときはゼノンが言っているとおり、毎回亀の位置にアキレスは到達しているし・・・。つまり距離自体は有限だが勝手にゼノンが無限分割しているだけだというのもわかりますが、実際追いつこうとするときその無限分割した点を通ってるし・・。 誰かご教授してください！！
- 締切済み
- 数学・算数
- ゼノンの・・いや、ンノゼのパラドクス？？
ンノゼは考えました。 アキレスと亀がゴール地点をスタート地点として競争を始めたら？と。 亀がＡ地点に着いたとき、アキレスはＢ地点に着いていました。 亀がＢ地点に着いたときには、アキレスは遥か彼方のＦ地点にいました。 こうして考えていくと、いつまでたってもアキレスと亀の差は広がっていくばかりです。 結果として、広がり続けるばかりで、限界はないということになります。 ゼノンのアキレスと亀のパラドクスは、ゼロにたどり着けないことを証明し、ンノゼのアキレスと亀のパラドクスは、限界に到着できないことを証明しています。 この宇宙には限界はないということではないでしょうか。 何か変なところありますか。 偉い人間からの・・いや、ちがった。エロい人間からの質問です。 ばかばかしいと思われても、ぜひ回答してください。お願いいたします。
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
- ゼノンのパラドックスの解決
アキレウスと亀のパラドックスを 数学的に解決したという文章を読んだのですが、 数学が大嫌いで、高校時代の数学の授業の記憶が全く無い（授業はあったはずなのですが）笑）私には、 よく理解できませんでした（泣）。 どなたか、こんなお馬鹿な私に 分かりやすい言葉で教えてください。 以下ウィキペディアより引用 その1 アキレウスと亀の問題は、「考えをいくらでも続けることができる」ということから「いつまでたっても追いつけない」という結論を導いている箇所にトリックがある。有限の項を無限に集めた級数の和は有限におさまることがあり得る。アキレウスが前に亀のいた場所にたどりつくまでの時間は何度繰り返しても有限だが、これらを全て足し合わせてもやはり有限の時間しか経過しないのである。そしてそれはアキレウスが亀を追い越すのに要する時間である。 その2 飛ぶ矢飛ばずの問題はこうして説明される; どんどん時間を短く区切っていけば、それだけ矢の動く距離も短くなっていくが、しかし矢の位置の変化率、つまり移動する距離を時間で割った商は零には近付いて行かない。この零でない極限がその瞬間における矢の速度である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- アキレスと亀のパラドックスについて
アキレスと亀のパラドックスを説明するのに無限等比級数が出てきて、収束しますが、現実には無限の操作なんてできっこないんだから結局は意味ないんじゃないんですか？ お願いします！
- 締切済み
- 数学・算数
- 速度を求める問題です
A地点からB地点を経由してC地点に行くルートとD地点に行くルートがある． A地点からB地点までの距離をL1，B地点からC地点までの距離をL2，B地点からD地点までの距離をL3とする． A地点からB地点までの所要時間をT1，B地点からC地点までの所要時間をT2，B地点からD地点までの所要時間をT3とする． A地点からC地点までのルートとA地点からD地点までのルート，どちらもA地点からB地点までの平均移動速度V1は等しいが，B地点からC地点までの平均移動速度V2とB地点からD地点までの平均移動速度V3は異なる速度である． 距離L1，L2，L3は既知．A地点からC地点までの所要時間（T1+T2），A地点からD地点までの所要時間（T1+T3），B地点からC地点までの所要時間とB地点からD地点までの所要時間の差（T2-T3）は既知であるがT1，T2，T3それぞれの値は不明． 上記の条件で，T2の時間を知りえることは可能でしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- アキレスと亀の競争・・・パラドクス（逆説）
哲学カテのファンなら知っている人も多いかと思います。私は最近知りました。 ゼノンという人が提唱したとか。 足の速いアキレスが、百メートル後からのろまな亀を追いかけるとします。アキレスが亀に追いつくためには、まず亀の最初のスタート地点に辿りつかねばなりませんが、そのときには、それにかかった時間の分だけ亀は前進しています。今度はその差の分だけアキレスは進まねばなりませんが、やはりまたその分だけ亀はさらに前進しています。こう考えていくと、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになるのです。（日本文芸社刊・図解世界の哲学・思想＝小須田健著）から引用しました。 現実には亀はアキレスに追い抜かれてしまうわけですが、この理屈に従うと、アキレスは亀を追い抜くことは出来ないのです。 どこか変ですよね。 このパラドクスは、今日に至るまで解決されないままに残っています。と、この著者は言っています。 そこで質問です。 このパラドクスの「何か変」は哲学の世界では今でも解決されないままに残っているのでしょうか。 それとも、いやいやもうすでにだれそれという人が解決した、という問題なのでしょうか。 それからもし、未解決であるならば、我こそはという人の考えを聞かせてほしく思います。 どこが変なのかを。 実は私は、何が変なのか、気づいたのです。（たぶん当たっていると思います） でもその前に皆様の答えを聞いて見たいのです。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
