５０ボルトの電位差で加速された電子の波長と速度

質問

１ボルトで加速された電子の運動エネルギーを１eVという。
このときの電子１モルのエネルギーは９６．５ｋJ/molである。
５０ボルトの電位差で加速された電子の物質波の波長(nm)と速度(m/s)を求めよ。

という問題で、このような問題解くの初めてで意味わからなかったので、

1eVについて調べたら、

『1eVとは、1Vの電位差のある場所で電子１個が得るエネルギーのこと』

とあったので、

『』内のエネルギーをＸと置いて、

電子6.02×10^23個（＝１mol）:96.5×10^3Ｊ＝電子1個：Ｘ(J)

∴Ｘ＝1.60299×10^-19（J）

50電位差のときは、電子１個が得るエネルギーは50eVなので、
1.60299×10^-19（J)×50＝8.01495×10^-18(J)

E(J)=h(Js)ν(s^-1)より、
1.60299×10^-19（J）＝6.63×10^-34(Js)×ν
∴ν＝1.208891×10^-16(s^-1)

E(m^2・kg/s^2)＝m(kg)c^2より、
8.01495×10^-18(J)＝m×(3.00×10^8)^2
∴ｍ＝8.9054×10^-35(kg)

λ＝ｃ/νより、
λ＝3.00×10^8/1.208891×10^-16＝2.48161×10^24(m)（＝2.48161×10^33nm…波長の答え）

ドブロイの式
λ＝ｈ/｛ｍ(kg)×ｖ(m/s)｝
より、

ｖ＝1.847539×10^25(m/s)…速度の答え

と解いてみたのですが、

やけに答え大きすぎるし、
基本的な問題なのにどこが間違っているのかがわかりません。

ご指摘お願いいたします。

回答No.4

T-gamma · ベストアンサー

＞E=mv^2/2
で速度出して
ドブロイで
波長出しても
いいんですか?

全然問題ないです。ただ、

>私はまだE=p^2/2m見たことない（習ってない？ｗ）気がするので

きっとこの式の意味をまだ把握されていないかと実はこれE=(1/2)mv^2と意味は全く同じです。
まず
運動量ｐ=mv
運動エネルギーE=(1/2)mv^2

ってことは
p^2=(mv)^2
(1/2m)p^2=(1/2)mv^2
となります。つまり(1/2m)p^2も運動エネルギーを表しているわけです。

よって
E=mv^2/2=p^2/2m
となるのです。

お礼

どうもありがとございます！！！

式理解できました♪
とてもうれしいです！

またよろしくお願いいたします♪

回答No.3

T-gamma

適当に回答すると恥かきますね（苦笑）

No.2さんのおっしゃるようにこれは電子にはλ＝ｃ/νは使えないですね(汗)

E=mv^2/2=p^2/2mから、ｖ(およびｐ)が求まりますし、
物質波の
λ＝ｈ/p
からλも求まるかと思います。

お礼

いえいえｗ

とても助かってます♪

私はまだE=p^2/2m見たことない（習ってない？ｗ）気がするので、

E=mv^2/2
で速度出して

ドブロイで
波長出しても

いいんですか？

いっぱい質問してごめんなさい！

回答No.2

eatern27

>E(m^2・kg/s^2)＝m(kg)c^2より、
50eVというのは、加速によって電子が得たエネルギーですよね。
つまり、加速後の電子のエネルギーと加速前の電子のエネルギーの差が50eVなんです。非相対論的には、加速後の運動エネルギーE=mv^2/2=p^2/2mの事ですね。
※別に、相対論的に扱ってもいいですが、加速後の電子のエネルギーは50eVで十分小さい(電子の質量と比べて)ので、非相対論的な扱いで十分です。

>λ＝ｃ/νより、
この式は、光についての、波長と振動数の関係式です。電子については成り立ちません。

>ドブロイの式
上に書いた部分から、電子の運動量が求まっていますので、この式を使えば波長が求まりますね。

お礼

ご回答ありがとございます！！

No1さんのご指摘で
E(m^2・kg/s^2)＝m(kg)c^2
のmの意味を私の理解不足で間違った使い方をしていたことがわかりました。

で、

No2さんのご指摘で
λ＝ｃ/ν
この式が、光についてのものなので電子に使えないことがわかりました。

で、

E=mv^2/2から速度を求めて、

その次にドブロイの式から波長を求めるのが

正しいのですか？

質問ばっかりしてごめんなさい！

回答No.1

T-gamma

＞E(J)=h(Js)ν(s^-1)より、
1.60299×10^-19（J）＝6.63×10^-34(Js)×ν
∴ν＝1.208891×10^-16(s^-1)

まず、計算が間違ってます。この式なら
ν＝2.42*10^14s^-1
かと…。
でも、実は最初の式から間違っています。Eは「電子１個のもつエネルギー」なので、その前の式から
E=8.01×10^-18Jではないかと(電圧は50Ｖですし)
ってことで
ν＝1.21×10^16s^-1
です。(入力して気付きましたが、たぶん質問者様もこの計算はされていますね。ただ、指数の符号はおかしいですがこれも間違いの要因かと)

＞E(m^2・kg/s^2)＝m(kg)c^2より、
8.01495×10^-18(J)＝m×(3.00×10^8)^2
∴ｍ＝8.9054×10^-35(kg)

この式は根本的に使い方を誤っています。E=mc~2を簡単に述べると「質量ｍが失われたとき、エネルギーEが発生する」ということになります。本格的に物理学をやってる人には怒られそうな説明ですが、言いたいことは「このEは電子が持ってる運動エネルギーとは別物」ってことです。電子に与えるエネルギーで電子の質量が変化するのは少々怖いです(笑)
ちなみに、電子１個の質量は9.12*10-31kgです。たぶん、色々な資料に載ってる値です。

＞λ＝ｃ/νより、
λ＝3.00×10^8/1.208891×10^-16＝2.48161×10^24(m)（＝2.48161×10^33nm…波長の答え）

先に述べたようにνが間違っているため、値がおかしいです。
λ＝ｃ/ν＝(3.00*10^8m/s)/(1.21*10^16s^-1)=2.48*10^-8m=24.8nm

＞ドブロイの式
λ＝ｈ/｛ｍ(kg)×ｖ(m/s)｝
より、

ｖ＝1.847539×10^25(m/s)…速度の答え

これもｍとλが間違っているため値がおかしいです。
ｖ＝h/mλ=(6.63*10^-34Js)/(9.12*10^-31kg*2.48*10^-8m)
=2.93*10^4m/s
計算はよく吟味していないので、どっかで計算ミスがあるかもしれません。ご自身でしっかり計算してみてください。

お礼

ご回答ありがとございます！！

＞E(J)=h(Js)ν(s^-1)より、
1.60299×10^-19（J）＝6.63×10^-34(Js)×ν
∴ν＝1.208891×10^-16(s^-1)

の
E=1.60299×10^-19（J）は
E=8.01×10^-18(J)の
（ノートからパソコンへの）写し間違いでした！

計算は8.01…の方でやってあるので、ν＝1.21×10^16s^-1になりました♪（符号の違いも私の電卓の見間違いでしたｗ）

＞E(m^2・kg/s^2)＝m(kg)c^2

のmは、私の理解不足でした！
回答読んで初めて知りました、どうもありがとございます！

＞λ＝ｃ/νより…
の
νの値の符号を正して計算してみたら
λ＝3.00×10^8/1.208891×10^16＝2.481613313*10^-8m(=24.8nm…波長の答え）
になりました。

で、m=9.12*10-31kgにして、
ドブロイの式に代入して計算してみたら、
ｖ＝1.804065164*10^-11(m/s)

になりました。

これは、合ってますか？？？

回答がないのでわからないんです…