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だれか黄金比に関して簡単に説明して下さい。
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>私はフィボナッチは「前の数字と今の数字を足したものが次の数字」という風に覚えたけど違うのか？？？ これは、正しく、その通りです。フィボナッチ数列とは、 1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, … というように、1,1から始めて、隣り合った二つの数の和を、その後ろに置いていく時にできる数列です。これを、漸化式で表しますと、 F(n+2)=F(n+1)+F(n), F(1)=1, F(2)=1, n=1,2,3,… となりますが、その意味する内容は、全く同じことです。 さて、フィボナッチ数列の始めの10個の数 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 について、隣り合った二つの数の比を考えてみましょう。すると、 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34 となりますが、実際に計算しますと、 1, 2, 1.5, 1.6666666…, 1.6, 1.675, 1.6153846…, 1.6190476…, 1.6176470… と、だんだんとある数に近付いているように見えます。では、さらに、次の10個のフィボナッチ数列の数 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 について、隣り合った二つの数の比を考えてみましょう。すると、 89/55, 144/89, 233/144, 377/233, 610/377, 987/610, 1597/987, 2584/1597, 4181/2584, 6765/4181 となりますが、実際に計算しますと、 1.6181818181…, 1.6179775280…, 1.6180555555…, 1.6180257510…, 1.6180371352…, 1.6180327868…, 1.6180344478…, 1.6180338134…, 1.6180340557…, 1.6180339631… と、さらに、だんだんとある数に近付いていくように見えます。ここで、黄金平均と比較してみましょう。黄金平均は、 (√5+1)/2=1.6180339887… です。すなわち、フィボナッチ数列の隣り合う二つの数の比は、だんだんと黄金平均に近付いていく、ということが、黄金平均とフィボナッチ数列との関係なのです。これを極限を用いて表しますと、 lim(n→∞){F(n+1)/F(n)}=φ となります。 ここまでの話と、さらに進んだ話は、『数学の不思議』（原題『Mathematical Mysteries』、カルヴィン・Ｃ・クロースン 著、好田順治 訳、青土社 刊）という本に、分かり易く書かれています。
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- oshiete_goo
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フラクタルについての回答がほとんどないようなので，さわりだけ． フラクタルの特徴は「自己相似性」であって，大きさを変えて拡大または縮小しても元の図形と同じに見える（重ね合わせられる）という点です． 雲とか海岸線の形とかは，何か大きさの目安になるものが一緒に写っていないと大きさが分からない，つまりどの大きさで見ても同じように見える（いわゆる「スケール・フリー」・・・見る大きさによらないこと）という点でフラクタルの例として挙げられることが多いようです． もちろん自然界の事物は大きさの限界がありますから（下は原子・分子レベル，上は例えば地球の大きさ程度？）近似的なもので，完全な自己相似ではないわけですが，この概念をもっと理想化・一般化したのがフラクタルの概念です． 詳細はご専門の方や専門書に譲りますが，先の黄金比で言えば，自己相似な長方形が無数に描かれた図形を"黄金比"倍だけ拡大または縮小しても，元の図形と完全に重ね合わせられるわけです．このときの相似比（拡大率）を「フラクタル次元」などと呼んで，普通の次元（直線が１次元で，平面が２次元で，空間が３次元．．．）とは違って，半端な数字になったりする（むしろそれが普通？）のが興味深いところです． No.1の方のご指摘もありますし，一応「自信なし」ということにして，誤り等については詳しい方に訂正していただけるよう希望して, ここらで終わらせていただきます．
お礼
ものの相似性にはなにか真理のようなもの感じて面白いです。 フラクタルのこともちょっと勉強してみます。 回答ありがとうございます。
- zabuzaburo
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No.3の前半で黄金比の値を求めるところを少し書き間違えました。 ノートは「横1、縦x(> 1)」とします。 そこから「一辺1の正方形」を切り取ると 「横1、縦(x‐1)」の長方形ができ、 これを縦に起こしてやってノートと相似であればよいので 「1：x = (x - 1) ： 1」となります。 その後の式や答は間違っていません。
- zabuzaburo
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フラクタルまでは説明できませんが、 フィボナッチ数列と黄金比との関係を解説しましょう。 正方形の折り紙が欲しいのに手元に無くて、 仕方なくノートの1ページを切り取って使ったことはありませんか？ ノートは長方形なので、三角折りにして余った部分を 切り取って捨てることになります。 この「捨てる部分」もやはり長方形ですが、 この縦横の比が元のノートと等しくなることがあります。 ノートをそのまま縮小した長方形が余るということです。 もしこんなことが起これば、 その余りを使ってもう一度同じことを繰り返しても、 やはり元と同じ形のさらに縮小された長方形が余ってきます。 何度切り取っても同じことが起こるのです。 このようなことが起こるかどうかは、 最初のノートの縦横の比率にかかっています。 横の長さを1として、縦が横よりもxだけ長いとしましょう。 すると、「横1、縦(1 + x)のノート」から 「横1、縦1の正方形」を切り取って、 「横1、縦xの余り」という長方形ができるわけです。 この余りは普通は横長ですから、起こしてやって縦長にしたとき、 もとのノートと相似であればよいわけです。 すなわち、「x ：(1 + x) = 1 ： x」が成り立ちますから、 これを整理して「x^2 - x - 1 = 0」として正の解を求めると 「x = (1 + √5) / 2」となります。これを「黄金比」と呼びます。 さて、これとフィボナッチ数列との関係でしたね。 フィボナッチ数列というのは 前の2項を足し算して新しい項を作ってできた数列です。 ご質問の例では第1項・第2項がともに1になっていますが、 これらは自由に選ぶことができ、この2つさえ定めれば あとは全ての項が自動的に定まります。 ここで、フィボナッチ数列の計算を図形的に考えてみます。 まず、第1項を縦、第2項を横の長さとした長方形を考えます。 この場合、縦も横も1です。 ■……1：1 次に、横と同じ長さの一辺を持つ正方形を下につなげます。 ■ □……1：2 これで第3項(2)が縦の長さとして登場します。 さらに、縦と同じ長さの正方形を右につなげます。 ■□□ ■□□……2：3 これで第4項(3)が横の長さとして現れました。 またまた、横と同じ長さの一辺を持つ正方形を下につなげます。 ■■■ ■■■ □□□ □□□ □□□……3：5 第5項(5)が縦に現れましたね。 同様に、長いほうの辺と同じ長さの一辺をもつ正方形を、 短いほうの辺の隣りにつなげてやると、 フィボナッチ数列の項が次々と現れるわけです。 ■■■□□□□□ ■■■□□□□□ ■■■□□□□□ ■■■□□□□□ ■■■□□□□□……5：8 ■■■■■■■■ ■■■■■■■■ ■■■■■■■■ ■■■■■■■■ ■■■■■■■■ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□……8：13 ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□ ■■■■■■■■□□□□□□□□□□□□□……13：21 このように縦長・横長を交互に繰り返しながら 長方形はどんどん大きくなりますが、後になるにつれて 形の変化があまり起こらなくなっているような気がしませんか？ 実際、このフィボナッチ数列の第21項～第23項は ……, 10946, 17711, 28657, …… となっていますが、 17711 ÷ 10946 = 1.6180339850…… 28657 ÷ 17711 = 1.6180339901…… と、ほとんど等比数列になっています。 ここで先ほどの黄金比を思い出してください。 正方形をどんなに切り落としても同じ形の長方形が残る ……ということは反対に、正方形をどんなに付け足しても 同じ形の長方形ができあがる、ということです。 フィボナッチ数列は後のほうの項に行くほどに、 この黄金比の長方形に近づいて行くのです。 黄金比の値は「(1 + √5) / 2」でしたが、これを計算すると (1 + √5) / 2 = 1.6180339887……となり、 先ほどのフィボナッチ数列の隣接項の比が この値を目指していることは容易に想像がつくでしょう。
お礼
大変詳しい御説明して頂き、ありがとうございます。 ＞何度切り取っても同じことが起こるのです。 ここがフラクタルっぽいなと感じました。 ＞フィボナッチ数列は後のほうの項に行くほどに、 ＞この黄金比の長方形に近づいて行くのです。 う～ン、神秘的ですね。 数学のことは良く知りませんが、とても面白いものだと思います。 どうも丁寧にありがとうございました。勉強になりました。
- ymmasayan
- ベストアンサー率30% (2593/8599)
いやー、びっくりしました。回答ではありません。 フィボナッチ数列も、黄金比も、フラクタル理論も知っていましたが、この３つが深いところでつながっているなんて。思いもしていませんでした。 参考ＵＲＬを紹介しますが、私もちんぷんかんぷんです。でも他のページはもっとわかりませんでした。 数学で、π（円周率）とｅ（自然対数の底）とｉ（虚数単位）と言う全く関係なさそうなものが、オイラーの公式 ｅ＾（ｉπ）＋１＝０では１つに結びつきます。 この式は、歴史上、最も美しい式（至宝）と言われています。 ちょっと横道にそれましたが、ご質問の件も理解するのはすごく難しいと思います。これからの課題として私も勉強して見ようと思います。 答えになってなくてすみません。
お礼
＞この３つが深いところでつながっているなんて。思いもしていませんでした。 いや、つながってるかどうかは分らないですけど。 参考URLありがとうございます。URL開いた瞬間、目の前がクラッときました。 オイラーの公式は全然しりませんが、全く関係なさそうなものが結びつくのは宇宙の真理と関係ありそうで面白い話です。 どうもこのカテゴリーで質問すると数式を避けて通れなさそうなのでまた別の質問の仕方を考えてみます。 回答ありがとうございました。
- Mell-Lily
- ベストアンサー率27% (258/936)
二次方程式 φ^2-φ-1=0 の解 φ=(1+√5)/2, φ'=(1-√5)/2 が黄金平均です。一方、フィボナッチ数列とは、漸化式 F(n+2)=F(n+1)+F(n), F(1)=1, F(2)=1 によって定義される数列です。黄金平均とフィボナッチ数列の結び付きは、次の数式によって表されます。 lim(n→∞){L(n+1)/L(n)}=φ
お礼
回答ありがとうございました。 難しすぎて良く分りませんでした。
長方形から正方形を切り取ったとき、残った長方形がもとの長方形と相似になるような長方形の短いほうの辺と、長い方の辺の比 俺は学校でこう習ったんですが、黄金比ってこれのことですか～？ 違うのか？？？ とりあえず、知識を問うような質問はこのサイトにはむいてないと思います。 ウソ、シッタカブリ、カンチガイが多いので（笑）
お礼
はずかしながらこれは知りませんでした。（忘れていた） でもこちらの方が黄金比としては一般的なのですね。 その結びつきはNo2のかたが答えて下さったようですが私には全然分りません。 私はフィボナッチは「前の数字と今の数字を足したものが次の数字」という風に覚えたけど違うのか？？？ 回答ありがとうございました。
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