２０枚から５枚の絵を当てる確率

質問

こんばんは。
超能力かどうかを判定する番組があったのですが、２０枚の絵の中から５枚を言い当てる確率は１/３８９だと言っていました。
どういう計算をしているのでしょうか。おしえてください。

回答No.5

toorisugari · ベストアンサー

絵が20枚あり、それを透視する（透視する人は20種類が何かは知っている）。

1枚透視して当たる確率は、1/20
1枚透視して外れる確率は、19/20

20枚全部透視して内5枚が当たる確率は、

当たる確率＾5枚×外す確率＾15枚×（20枚のうち5枚が当たる組み合わせ）＝
(1/20)^5*(19/20)^15*20Ｃ5=0.002244646≒1/446

5枚だけ当たる確率は1/446になります。
透視が当たるかですので6枚当たっても全部当たってもいいはずなので
5枚以上当たる確率で計算してみると

20枚全部透視して内5枚以上当たる確率は、

0枚当たる確率：(1/20)^0*(19/20)^20*20Ｃ0
1枚当たる確率：(1/20)^1*(19/20)^19*20Ｃ1
2枚当たる確率：(1/20)^2*(19/20)^18*20Ｃ2
3枚当たる確率：(1/20)^3*(19/20)^17*20Ｃ3
4枚当たる確率：(1/20)^4*(19/20)^16*20Ｃ4

1-(0枚当たる確率+1枚当たる確率+2枚当たる確率+3枚当たる確率+4枚当たる確率)
=0.00257394≒1/389

「5枚以上当たる確率は、約1/389」となります。

お礼

回答をありがとうございました！
他の方も質問されてたみたいですね。
こちらの説明はとても明快ですっきりしました。

回答No.6

Mr_Holland

既に〆られてしまいましたが、後から別の方から同じ質問が出ています。こちらの方が詳しく論じられているように思います。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3098154.html

　２つの考え方があって、kkkk2222さんとbanakonaさんの重複なしと、debutさんの重複ありの考え方です。
　そこで、実際にどちらが妥当なのか検証するために、エクセルの乱数を使って、重複なしでカードを指定した場合の実験をしてみました。その結果を以下に記します。
　結果は詳しい方に分析してもらう必要はありますが、概ね重複なしの約1/273に近い結果になりました。考え方としては、完全順列の方が合っているように思います。

　　　　　　　　　　　（実験値)　　　（　計　算　値　)
　　　　　　　　　　　(127,920回)　(重複なし)　(重複あり)
すべて一致しない　　36.67%　　36.79%　　　35.85%
１つだけ一致する　　36.95%　　36.79%　　　37.74%
２つだけ一致する　　18.30%　　18.39%　　　18.87%
３つだけ一致する　　 6.11%　　 6.19%　　　 5.96%
４つだけ一致する　　 1.58%　　 1.53%　　　 1.33%

５つだけ一致する　　 0.34%
６つだけ一致する　　 0.04%
７つだけ一致する　　 0.01%
８つ以上一致する　（度数なし)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
５つ以上一致する　　 0.37%　　 0.40%　　　 0.26%
　　（逆数表示)　　　　1/251　　 1/273　　　 1/389

お礼

参考リンク、ありがとうございます。
確率（数学）って奥が深いですよね。
どうもありがとうございました！

回答No.4

Quattro99

ESPカードのようなものでしょうか？
5種類5枚のカードを全部言い当てるのは1/5!=1/120。
5種類無限枚から5枚選んで全部言い当てるのは1/(5^5)=1/3125。
5種類20枚から5枚選んで全部言い当てるのはその間ということになると思いますが（ややこしすぎて計算してません）、389って素数なのでその数字にはならないように思います。

補足

ESPカードとは少し違ったような気がします。５種類２０枚ではなく、２０枚ばらばらの絵が袋の中に入っていて、被験者はその２０の絵をあらかじめ知っています。それぞれの袋の中の絵をマッチングするといえばご理解いただけるでしょうか。５枚マッチングできる確率が１/３８９とのことです。

回答No.3

sanori

２０枚には、それぞれ異なる絵が描かれていて、それぞれの絵を言い当てるということでしょうか。
結構難しいですね。

回答になっていないかもしれませんが、
私なりに考えたことをとりあえず書かせていただきますね。

２０枚だと難しいので、まずは、「５枚の中から？枚以上当てる」をやってみましょうか。

５種類の絵柄をＡ～Ｅで表すことにします。
そして、カードがＡ、Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの順に並んでいるとします。
「ＡＢＣＤＥ」と言えば、全５枚正解です。

-------------------

５枚全部言い当てる場合の数
ＡＢＣＤＥ
１通り

ちょうど４枚言い当てる場合の数
０通り
なぜならば、４枚言い当てれば、ミスが無い限り、残る１枚も当たるはずなので。

ちょうど３枚言い当てる場合の数
これは、５枚のうち２枚の位置を入れ替えた場合にのみ発生する。
それはつまり、５枚から２枚選ぶ組み合わせの数。
５Ｃ２　＝　３０通り

ちょうど２枚言い当てる場合の数
これは、５枚のうち３枚を選び、それらの位置をローテーション的にア→イ→ウと並べ替えたものの数。
（例：　ＤＥが正解、ＡＢＣが不正解として、
　　ＢＣＡＤＥ、ＣＡＢＤＥ　の２通り）
５Ｃ３　×　２　＝　６０通り

１枚しか言い当てられない場合の数
・・・難しい・・・

全部不正解の場合の数
５！　－　［１～５枚の場合の数の合計］

---------------------------

仮に、「５枚から３枚以上正解する確率」を求めるとすると、
（１＋０＋３０）／５！　＝　３１／１２０

「ちょうど３枚正解」の確率は、
３０／１２０　＝　１／４

こんなふうに考えるんでしょうかね・・・

お礼

そうです。２０枚の異なる絵をそれぞれ言い当てるのです。
うーん、思ったより面倒そうですね・・

回答No.2

nakago2007

No.1は間違ってると思います。まず２０枚のうちの当たりである５枚のどれかを引く確率は5/20です。次に１９枚のうちの４枚を選ぶ確率は4/19、１８枚のうちの３枚を選ぶ確率は3/18と最後の１枚まで当て続ける確率は5/20×4/19×3/18×2/17×1/16で答えは1/15504です。

別の考え方としてはまず２０枚のうち５枚選ぶ選び方は20Ｃ5＝15504通りあります。そのうち当たりである５枚全てを選んでいる場合の数は１通りなので1/15504となります。

その番組の答え間違ってますね・・・。もっとちゃんと計算してほしいものです。

お礼

私もこの計算方法だと思ったのですが。。。あまりに回答がかけ離れていたので何か根本的な考え方の違いがあるのかも、と思って質問しました。

回答No.1

oumasan2

5/20×4/19×3/18×2/17×1/16で２０枚から目的の５枚を選ぶ確率。それにその五枚が順不同でいいとして、５×４×３×２×１＝１２０をかければならないかなあ。