急募！確率の計算をお願いします！

質問

こんにちは。
以下の確率を計算したいです。

計算式は出せるのですが、実際の計算ができません。
よろしくお願いします。

【問題】
100万本のクジの中に3本の当たりクジが入っている。
これを何本引けば、1/100の確率で当たりくじを１本以上引くことができるか？
一度引いたクジは戻さないものとする。

【解答】
１本以上当たりを引く確率は、全体から１本も当たりを引けない確率を引けば良い。

１本引いてハズレの確率は 999997/1000000
２本引いて全てハズレの確率は 999997/1000000 * 999996/999999

以上より、nPmを使って表すと、式は以下の通り。

１－（999997Px／1000000Px）＝1/100

このxを求めれば良い。

質問１．この計算式で正しいでしょうか？

質問２．上記xを計算していただきたいのと、こういう計算ができる方法やサイトなどがあればお教え願います。

以上、よろしくお願いします。

回答No.1

QoooL · ベストアンサー

回答１.
式は正しいです。ただ、ｘは整数なので、ぴったり等式が成り立つとは限りません。そこで私は、次のように不等式に改良します。
-------------
１－（999997Pｎ／1000000Pｎ）＞1/100
これを満たす最小の自然数ｎを求める。
-------------

回答２.
私は、計算サイトは知らないです。
しかし、以下の方法で手計算できます。
根気が必要ですけど。

１－(1/100)　＞　999997Pｎ／1000000Pｎ

99/100　＞　（1000000－ｎ）（1000000－ｎ－1）（1000000－ｎ－2）／（1000000・999999・999998）
（いくつからいくつまで階乗になっているかを考えれば、右辺のほとんどの項は消えることがわかる。当たりがまだ３本で良かった　笑）

99・10000・999999・999998　＞　（1000000－ｎ）（1000000－ｎ－1）（1000000－ｎ－2）

左辺はがんばると、18桁くらいの整数になる。
右辺は、ｎ＝1のとき　18桁くらいの整数（左辺より多少大きい）からスタートとなる。
同じくらいのオーダーで良かった。10倍～100倍の違いがあると、計算もたいへんだったことが予想されます。

イメージ
990000・999999・999998　＞　999999・999998・999997
ｎ＝1　のとき成り立たない

990000・999999・999998　＞　999996・999998・999997
ｎ＝2　のとき成り立たない

990000・999999・999998　＞　999997・999996・999995
ｎ＝3　のときもちろんまだ成り立たない

990000・999999・999998　＞　999000・998999・998998
ｎ＝1000　のとき成り立つかどうかはご自分で頑張ってください。

990000・999999・999998　＞　990000・989999・989998
ｎ＝10000　のとき成り立つかどうかはご自分で頑張ってください。

990000・999999・999998　＞　900000・899999・899998
ｎ＝100000　のとき成り立つかどうかはご自分で頑張ってください。

990000・999999・999998　＞　100000・99999・99998
ｎ＝900000　のとき成り立つかどうかは、掛け算を始めなくてもなんとなくわかりますね。

というわけで、ｎ＝500000　辺りから探りを入れて行くわけです。

1の位まで求めるには時間かかりますよ。でもコンピューターに頼らなくても手計算できる、というメリットがあるわけですから。
電卓やエクセルを使えばもっと楽できるかも知れません。
最後の検算は必ず自分の筆算で行ってください。計算機は近似誤差が生じますから。

挟み撃ち、挟み撃ちで行けば、かなり早い段階で　ｎ　がどの辺りにあるかがわかると思います。
さすがに、代わりに計算してあげることはできないのでごめんなさい。

お礼

早急にご回答いただきありがとうございます！
助かりました。

分子と分母が消せることは盲点でした。
おかげで検算は手計算でできました。

ありがとうございました。

回答No.4

stomachman

ANo.1の計算、せっかくだから最後までやってみましょうよ。

　以下、a×10^m のことをめんどくさいんでaEmと書きます。するとANo.1にお書きの

> 99・10000・999999・999998　＞　（1000000－ｎ）（1000000－ｎ－1）（1000000－ｎ－2）


という式の左辺は、多項式の展開の要領で
　　1E4(1E2-1)(1E6-1)(1E6-2) = 1E18-1E16-3E12-3E10+2E6-2E4
であり、右辺も同様にして
　　(1E6-n)(1E6-(n+1))(1E6-(n+2)) = 1E18-(3E12)(n+1)+(1E6)(3n^2+6n+2)
となる。両辺が等しくなるnを探すために
　　1E18-1E16-3E12-3E10+2E6-2E4 = 1E18-(3E12)(n+1)+(1E6)(3n^2+6n+2)
としてみると、整理して
　　1E12+3E8+3E6-2E2-2 = (3E8)(n+1)-(1E2)(3n^2+6n+2)　…★
ここで、絶対値の小さい項を無視すると
　　(1E12)≒ (3E8)(n+1)
であるから
　　1E4 ≒ 3(n+1)
である。そこで、εを誤差として
　　n = (1E4)/3+ε
としましょう。これを★に代入して
　　3E8((1E4)/3+ε+1)-1E2(3((1E4)/3+ε)^2+6((1E4)/3+ε)+2) = 1E12+3E8+3E6-2E2-2
整理すると
　　3E2ε^2+3E8ε+6E2ε-(1E10)/3+1E6+4E2 +2 = 0　…※
再び細かい項を無視して
　　3E8ε-(1E10)/3 ≒ 0
とすれば、
　　ε ≒ 100/9 ≒ 11
である。そこでそのまた誤差をδとして
　　ε=11+δ
を※に代入すると
　　3E2(11+δ)^2+3E8(11+δ)+6E2(11+δ)-(1E10)/3+1E6+4E2 +2 = 0
整理して
　　(3E2)δ^2+(3E8+6E2+6E2)δ+(1E8)/3+1E6+3.63E4+6.6E3+4E2 +2 = 0
またまた細かい項を無視して
　　(3E8)δ+(1E8)/3 ≒ 0
より
　　δ ≒ -1/9
というわけで、
　　n ≒ (1E4)/3+11-1/9= 3343.1
だから、3343と3344の間である、と分かった。

お礼

ありがとうございます。

学生時代は数学は得意だったんですが、こちらは難しすぎてついていけませんでした（笑

検算して3345が答えだと分かりました。
誤差や細かい部分を無視したことで、若干ずれたんでしょうか？

いずれにしろ、色々な解答でこの数字が確からしいことが強まって助かりました。
本当に有難うございます。

回答No.3

nishi6

Excelで計算してみました。

単に計算です。計算結果が正になるｎ（B列）が答えになります。

１．A1に1000000を入力
２．A2から1万個の連続データーを発生
３．B2に計算式をセット
４．B2のフィルハンドルをダブルクリックしてコピー
５．B列が「正」になるセルを探す
６．3345

いずれも秒単位の操作です。サイトは探すのが大変そうです。
正誤に責任なしということでお願いします。

お礼

ありがとうございます。
ズバリの解答を出していただき、検算して確かめることができました。
本当に有難うございます。

ベストアンサーは最初にご回答を頂けた方にしましたが、この回答も非常に役に立ちました。
ありがとうございます。

回答No.2

QoooL

＃１です。

ｎ＝500000　から始めるのは見当違いだな。

997000　　ｎ＝3000
996000　　ｎ＝4000

の間に答えはあると思います。

なんか意外ですけどね。
確かめ算は必ずご自分で行ってください。責任は持ちません。

お礼

ありがとうございます。

クジを毎回戻すことにすると単順に3334になると思うので、そこに近いのかなーとは思っていました。
おかげで解決できました。